Формула вычисления площади: Как найти площадь фигуры, формула

Содержание

Формулы площади и программы для расчета площадей

Содержание:

Площадь геометрической фигуры – часть поверхности, ограниченная замкнутым контуром данной фигуры. Величина площади выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.


Формулы площади треугольника

1-ая формула

S – площадь треугольника

a, b – длины 2-х сторон треугольника

С – угол между сторонами a и b

2-ая формула

S – площадь треугольника

a – длина стороны треугольника

h – длина высоты, опущенной на сторону a

3-ья формула

S – площадь треугольника

a, b, c – длины 3-х сторон треугольника

p – полупериметр треугольника

4-ая формула

S – площадь треугольника

r – радиус вписанной окружности

p – полупериметр треугольника

5-ая формула

S – площадь треугольника

a, b, c – длины 3-х сторон треугольника

R – радиус описанной окружности

См. также: Программа для расчета площади треугольника.

Формулы площади квадрата:

1) Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны (a).

2) Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали (d).

S – площадь квадрата

a – длина стороны квадрата

d – длина диагонали квадрата

См. также: Программа для расчета площади квадрата.


Формула площади прямоугольника:

1) Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон (a, b).

S – площадь прямоугольника

a – длина 1-ой стороны прямоугольника

b – длина 2-ой стороны прямоугольника

См. также: Программа для расчета площади прямоугольника.


Формула площади параллелограмма:

1) Площадь параллелограмма равна произведению длины его основания на длину высоты (a, h).

S – площадь параллелограмма

a – длина основания

h – длина высоты

См. также: Программа для расчета площади параллелограмма.

Формула площади трапеции:

1) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту (a, b, h).

S – площадь трапеции

a – длина 1-ого основания

b – длина 2-ого основания

h – длина высоты трапеции

См. также: Программа для расчета площади трапеции.


Формулы площади ромба:

1) Площадь ромба равна произведению длины его стороны на высоту (a, h).

2) Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

S – площадь ромба

a – длина основания ромба

h – длина высоты ромба

d1 – длина 1-ой диагонали

d2 – длина 2-ой диагонали

См. также: Программа для расчета площади ромба.


Формула площади круга:

1) Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число пи (3.1415).

2) Площадь круга равна половине произведения длины ограничивающей его окружности на радиус.

S – площадь круга

π – число пи (3.1415)

r – радиус круга

См. также: Программа для расчета площади круга.

Формула площади эллипса:

1) Площадь эллипса равна произведению длин большой и малой полуосей эллипса на число пи (3.1415).

S – площадь эллипса

π – число пи (3.1415)

a – длина большой полуоси

b – длина малой полуоси

См. также: Программа для расчета площади эллипса.

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Площадь треугольника

Площадь треугольника, формулы для вычисления площади различных видов треугольников в зависимости от известных исходных данных, калькулятор для нахождения площади онлайн и сводная таблица с формулами площадей треугольников.

Таблица с формулами площади треугольника (в конце страницы)

Скачать формулы площади треугольника в виде картинки или файла PDF (в конце страницы)

– Вычисления   (показано)   (скрыто)

– примечания   (показано)   (скрыто)

Для всех треугольников



1

Площадь треугольника по основанию и высоте

Сторона a

Высота h

Основанием треугольника может быть выбрана любая из сторон треугольника.


2

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Сторона a

Сторона b

Угол α° между сторонами a и b

Угол α между сторонами может быть любым: тупым, острым, прямым.


3

Площадь треугольника по радиусу вписанной окружности и трем сторонам

Сторона a

Сторона b

Сторона c

Радиус r вписанной окружности


4

Площадь треугольника по радиусу описанной окружности и трем сторонам

Сторона

a

Сторона b

Сторона c

Радиус R описанной окружности


5

Площадь треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c


6

Площадь произвольного треугольника по стороне и двум прилежащим углам

Сторона a

Угол β°

Угол α°


Для равнобедренных треугольников


7

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и основанию

Сторона a (a = b)

Сторона c


8

Площадь равнобедренного треугольника по боковым сторонам и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Угол α° между боковыми сторонами


9

Площадь равнобедренного треугольника по боковой стороне, основанию и углу между ними

Боковая сторона a (a = b)

Основание треугольника c

Угол β° между основанием и стороной


10

Площадь равнобедренного треугольника по основанию и углу между боковыми сторонами

Основание треугольника c

Угол α° между боковыми сторонами


Для равносторонних треугольников


11

Площадь равнобедренного треугольника по высоте и основанию

Основание треугольника c

Высота h



12

Площадь равностороннего треугольника по стороне

Сторона a (a = b = c)


13

Площадь равностороннего треугольника по высоте

Высота h


14

Площадь равностороннего треугольника по радиусу вписанной окружности

Радиус r вписанной окружности


15

Площадь равностороннего треугольника по радиусу описанной окружности

Радиус R описанной окружности


Для прямоугольных треугольников


16

Площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Катет a

Катет b


17

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол

Сторона c

Угол α


18

Площадь прямоугольного треугольника через катет и угол

Сторона b

Угол α


19

Площадь прямоугольного треугольника по отрезкам, на которые делит гипотенузу вписанная окружность

Отрезок d

Отрезок

e


20

Площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу и вписанную окружность

Сторона с

Радиус r


21

Площадь прямоугольного треугольника по формуле Герона

Полупериметр: 

Сторона a

Сторона b

Сторона c


Для вычисления площади треугольника применяются различные формулы, в зависимости от известных исходных данных. Выше приведены формулы и калькулятор, который поможет вычислить площадь треугольника или проверить уже выполненные вычисления. Приведены общие формулы для всех типов треугольников, частные случаи для равносторонних, равнобедренных и прямоугольных треугольников.

Наш калькулятор для вычисления площади поможет вам вычислить площадь разных видов треугольников или проверить уже выполненные вычисления.


В зависимости от вида треугольника и его известных исходных данных, площадь треугольника можно вычислить по различным формулам.


Таблица с формулами площади треугольника




Определения

Площадь треугольника – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной геометрической фигурой, образованной тремя отрезками (сторонами), которые соединяют три точки (вершины), не лежащие на одной прямой.

Треугольник – это геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Отрезки называют сторонами треугольника, а точки – вершинами треугольника.

Площадь – это численная характеристика, характеризующая размер плоскости, ограниченной замкнутой геометрической фигурой.

Площадь измеряется в единицах измерения в квадрате: км2, м2, см2, мм2 и т.д.


Скачать формулы площади треугольника в виде картинки


Формулы площади треугольника

Формулы площади треугольника

Подождите пару секунд пока подгрузятся формулы

Внимание! Десятичную дробь надо писать с точкой(.), а не с запятой!

Через основание и высоту
$$S= \frac{1}{2} ah $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — основание

\(h\) — высота

\(a =\)    \(h =\)


Через две стороны и угол
$$S= \frac{1}{2} ab sin \alpha $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\( \alpha \) — угол между сторонами \(a\) и \(b\)

\(a =\)    \(b =\)    \( \alpha =\)


Формула Герона
$$S= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(a =\)    \(b =\)    \(c =\)


Через радиус вписанной окружности
$$S= rp $$ \(S\) — площадь треугольника

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(r =\)    \(p =\)


Через радиус описанной окружности
\(S= \frac{abc}{4R} \)

\(S\) — площадь треугольника

\(R\) — радиус описанной окружности

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(c\) — сторона

\(a =\)   \(b =\)

\(c =\)   \(R =\)


Площадь прямоугольного треугольника
$$S= \frac{1}{2} ab $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(a =\)    \(b =\)


Площадь прямоугольного треугольника
$$S= de $$ \(S\) — площадь треугольника

\(d =\)    \(e =\)


Формула Герона для прямоугольного треугольника
$$ S= (p-a)(p-b) $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(p\) — полупериметр, \(p= \frac{a+b+c}{2}\)

\(a =\)    \(b =\)    \(p =\)


Площадь равнобедренного треугольника
$$S= \frac{1}{2} a^2 sin \alpha$$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами

\(a =\)    \( \alpha =\)


Площадь равнобедренного треугольника

\(a\) — сторона

\(b\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

\(a =\)    \(b =\)    \( \alpha =\)


Площадь равнобедренного треугольника
$$S= \frac{b^2}{4tg \frac{ \alpha }{2}} $$ \(S\) — площадь треугольника

\(b\) — сторона

\(\alpha\) — угол между боковыми сторонами и основанием

\(b =\)    \(\alpha =\)


Формула Герона для равнобедренного треугольника
a =    b =
Площадь равностороннего треугольника
$$S= \frac{ \sqrt{3}a^2}{4} $$ \(S\) — площадь треугольника

\(a\) — сторона

\(a =\)


Площадь равностороннего треугольника
$$S= \frac{3 \sqrt{3}R^2}{4}$$ \(S\) — площадь треугольника

\(R\) — радиус описанной окружности

\(R =\)


Площадь равностороннего треугольника
$$S= 3 \sqrt{3}r^2 $$ \(S\) — площадь треугольника

\(r\) — радиус вписанной окружности

\(r =\)


Площадь равностороннего треугольника
$$S= \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$ \(S\) — площадь треугольника

\(h\) — высота

\(h =\)

Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции — урок. Геометрия, 8 класс.

Площадь параллелограмма

Необходимо определить, что такое высота параллелограмма.

 

Это перпендикуляр, проведённый из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противоположную параллельную сторону. Обычно высоту проводят из вершины параллелограмма. Так как параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, то он имеет высоты двух различных длин.

 

Высота \(BE\), проведённая между длинными сторонами, короче высоты \(BF\), проведённой между короткими сторонами.

 

 

Так как стороны ромба одинаковы, то высоты ромба также одинаковы: \(BE = BF\).

 

 

Площадь произвольного параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению высоты и стороны, к которой проведена высота.

 

Проведём высоты из двух вершин \(B\) и \(C\) к стороне \(AD\) .

 

Прямоугольные треугольники \(ABE\) и \(DCF\) равны (равные гипотенузы как противоположные стороны параллелограмма и равные катеты как расстояние между параллельными прямыми).

 

Параллелограмм \(ABCD\) и прямоугольник \(EBCF\) — равновеликие, так как состоят из равных фигур:

 

SABCD=SABE+SEBCD;SEBCF=SEBCD+SDCF.

 

Значит, площадь параллелограмма определяется так же, как площадь прямоугольника:

 

SEBCF=BE⋅BC;SABCD=BE⋅BC=BE⋅AD.

 

Если обозначить сторону через \(a\), высоту — через \(h\), то:

 

Sп−гр=a⋅h.

 

Для определения площади параллелограмма можно использовать короткую сторону и высоту, проведённую к короткой стороне.

Площадь ромба

Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, они перпендикулярны и делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника.

 

 

SABCD=4⋅SABO=4⋅BO⋅AO2=2⋅BO⋅AO.

 

Формула определения площади ромба:

 

Sромба=d1⋅d22.

 

Эта формула справедлива для определения площади любого четырёхугольника, если его диагонали перпендикулярны.

 

Так как диагонали квадрата равны, то для определения площади квадрата в формуле достаточно длины одной диагонали:

 

Sквадрата=d22.

Площадь произвольного треугольника

Так как диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника, то площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

 

 

 

Sтреуг=aha2, где \(h\) — высота (на рисунке — \(BE\)), проведённая к стороне \(a\) (на рисунке — \(AD\)).

 

Для определения площади треугольника можно использовать любую сторону и высоту, проведённую к этой стороне.

 

Удобно иногда использовать формулу Герона, если известны длины всех трёх сторон треугольника.

 

SΔ=pp−ap−bp−c;p=a+b+c2

 

— формула Герона, где \(a\), \(b\) и \(c\) — стороны треугольника, \(p\) — полупериметр треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как катеты прямоугольного треугольника взаимно перпендикулярны, то один катет может быть высотой, а другой катет — стороной, к которой проведена высота. Получаем формулу:

 

S=a⋅b2, где \(a\) и \(b\) — катеты.

 

Для прямоугольного треугольника также можно применять формулы площади произвольного треугольника.

Пример:

1. вычислим площадь треугольника со сторонами \(17\) см, \(39\) см, \(44\) см.

 

Решение:

 

p=17+39+442=50;SΔ=50⋅50−17⋅50−39⋅50−44=50⋅33⋅11⋅6==25⋅2⋅3⋅11⋅11⋅2⋅3=5⋅2⋅3⋅11=330см2.

 

Чтобы легче было вычислить корень, необходимо не перемножать все числа, а раскладывать их на множители: a⋅a=a.

Формулу Герона можно использовать для вычисления высоты треугольника.

Пример:

2. вычислим меньшую высоту треугольника, стороны которого равны \(15\) см, \(13\) см, \(4\) см.

 

Решение:

используем две формулы вычисления площади:  SΔ=aha2 и SΔ=pp−ap−bp−c.

 

Меньшая высота в треугольнике — та, которая проведена к большей стороне, поэтому \(a =\) \(15\) см.

 

SΔ=pp−ap−bp−c=16⋅1⋅3⋅12=24см2.


Составляем уравнение:

                        

15⋅h3=24⋅215⋅h=48;h=4815=3,2(см).

Иногда формула Герона используется для вычисления площади параллелограмма, если даны стороны параллелограмма и его диагональ.

Пример:

3. дан параллелограмм со сторонами \(17\) см и \(39\) см, длина диагонали равна \(44\) см. Вычислим площадь параллелограмма.  

 

Решение:

 

диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника. Используем результат, полученный в первом примере:

 

Sпараллелограмма=2⋅SΔ=2⋅330=660(см2).

Площадь трапеции

Трапеция имеет одну пару параллельных сторон, следовательно, имеет одну высоту — перпендикуляр, проведённый между параллельными сторонами.

 

Чаще всего высоту трапеции проводят из вершин или через точку пересечения диагоналей.

 

 

Площадь трапеции определим как сумму площадей треугольников, на которые трапецию делит диагональ.
 

 

SABCD=SABD+SDBC;SABCD=AD⋅BE2+BC⋅DF2=AD⋅BE2+BC⋅BE2==AD+BC⋅BE2.

 

Если обозначить параллельные стороны (основания) трапеции через \(a\) и \(b\), высоту через \(h\), то:

 

Sтрап=a+b2⋅h.

Обрати внимание!

Важные следствия:

 

1. если высоты треугольников равны, то их площади относятся как длины оснований.

 

2. Если основания треугольников равны, то их площади относятся как длины высот.

 

3. Если высоты треугольников равны и их основания равны, то они равновелики, например, медиана делит треугольник на две равновеликие части.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике – Планиметрия

Формулы для площади треугольника

      Формулы, позволяющие находить площадь треугольника, удобно представить в виде следующей таблицы.

ФигураРисунокФормула площадиОбозначения
Произвольный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

a и b – две любые стороны,
С – угол между ними


.

Посмотреть вывод формулы Герона

a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы

a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

S = 2R2 sin A sin B sin C

Посмотреть вывод формулы

A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Равносторонний (правильный) треугольник

Посмотреть вывод формулы

a – сторона

Посмотреть вывод формулы

h – высота

Посмотреть вывод формулы

r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

R – радиус описанной окружности

Прямоугольный треугольник

Посмотреть вывод формулы

a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы


.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Произвольный треугольник

где
a – любая сторона,
ha – высота, опущенная на эту сторону

Посмотреть вывод формулы

где
a и b – две любые стороны,
С – угол между ними

Посмотреть вывод формулы


.

где
a, b, c – стороны,
p – полупериметр

Формулу называют «Формула Герона»

Посмотреть вывод формулы Герона

где
a – любая сторона,
B, С – прилежащие к ней углы

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c – стороны,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Посмотреть вывод формулы

где
a, b, c  – стороны,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

S = 2R2 sin A sin B sin C

где
A, B, С – углы,
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Равносторонний (правильный) треугольник

где
a – сторона

Посмотреть вывод формулы

где
h – высота

Посмотреть вывод формулы

где
r – радиус вписанной окружности

Посмотреть вывод формулы

где
R – радиус описанной окружности

Посмотреть вывод формулы

Прямоугольный треугольник

где
a и b – катеты

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – прилежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
a – катет,
φ – противолежащий острый угол

Посмотреть вывод формулы

где
c – гипотенуза,
φ – любой из острых углов

Посмотреть вывод формулы

Вывод формул для площади произвольного треугольника

      Утверждение 1. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а ha – высота, опущенная на эту сторону.

      Доказательство.

Рис. 1

Достроив треугольник ABC до параллелограммапараллелограмма ABDC (рис. 1), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 2. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a и b – две любые стороны треугольника, а С – угол между ними.

      Доказательство.

Рис. 2

Поскольку

ha = b sin C ,

то, в силу утверждения 1, справедлива формула

что и требовалось доказать.

      Утверждение 3. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a – любая сторона треугольника, а B, С – прилежащие к ней углы.

      Замечание. Докажем утверждение 3 в случае остроугольного треугольника. Доказательство в случаях прямоугольного и тупоугольного треугольников требует лишь незначительных изменений, совершить которые мы предоставляем читателю в качестве самостоятельного упражнения.

      Доказательство.

Рис. 3

Поскольку (рис.3)

x = hactg C ,       y = hactg B ,

то

a = x + y =
= ha
ctg C + hactg B =
= ha( ctg C + ctg B) .

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 4. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а r – радиус вписанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 4

Соединив центр O вписанной окружности с вершинами треугольника (рис.4), получим

что и требовалось доказать.

      Утверждение 5. Площадь треугольника можно найти по формуле

где a, b, c – стороны треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 5

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Следовательно,

      Поэтому

что и требовалось доказать.

      Утверждение 6. Площадь треугольника можно найти по формуле:

S = 2R2 sin A sin B sin C ,

где A, B, С – углы треугольника, а R – радиус описанной окружности.

      Доказательство.

Рис. 6

В силу теоремы синусов справедливо равенство

.

      Поэтому

a = 2R sin A ,    
b =
2R sin B ,    
c = 
2 sin C ,

      В силу утверждения 5

что и требовалось доказать.

Вывод формул для площади равностороннего треугольника

      Утверждение 7.

  1. Если h – высота равностороннего треугольника, то его площадь

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 7.

  2. Рис. 7

    В силу утверждения 2

  3. Рассмотрим рисунок 8.

  4. Рис. 8

    Поскольку

    то

  5. Рассмотрим рисунок 9.

  6. Рис. 9

    Поскольку у равностороннего треугольника центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство   h = 3r.  Следовательно,

  7. Рассмотрим рисунок 10.

  8. Рис. 10

    Поскольку у равностороннего треугольника центр описанной окружности совпадает с точкой пересечения медиан, высот и биссектрис, то выполнено равенство Следовательно,

          Доказательство утверждения 7 завершено.

Вывод формул для площади прямоугольного треугольника

      Утверждение 8.

      Доказательство.

  1. Рассмотрим рисунок 11.

  2. Рис. 11

    В силу утверждения 2

  3. Рассмотрим рисунок 12.

  4. Рис. 12

    Поскольку

    b = a tg φ ,

    то

  5. Рассмотрим рисунок 13.

  6. Рис. 13

    Поскольку

    b = a ctg φ ,

    то

  7. Рассмотрим рисунок 14.

  8. Рис. 14

    Поскольку

    a = c cos φ ,    
    b = c sin φ ,

    то

          Доказательство утверждения 8 завершено.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Вычисление формулы объема и площади в Excel

Программа Excel является лучшим калькулятором. Мы привыкли использовать для расчетов традиционные бухгалтерские калькуляторы. Все их возможности поддерживает программа Excel. Более того, он имеет неоспоримые преимущества.

В некоторых формулах можно выполнить только одно математическое вычисление при калькуляционных расчетах. В таких случаях, если меняются данные нужно изменить формулу. Но если все данные будут распределены по ячейкам, а формула будет только ссылаться на них, то при любых изменениях нет необходимости менять формулу. Одна формула может использоваться многократно. Чтобы понять, как это работает, лучше привести несколько практических примеров.

Как рассчитать объем и площадь в Excel

В ячейке A1 запишем формулу вычисления объема параллелепипеда: a = 6 см; b = 8 см; c = 12 см.

В ячейке A2 запишем формулу вычисления площади круга: r = 25 см.

В ячейке A3 формула содержит безаргументную функцию ПИ(), которая содержит в себе полное число ПИ (а не 3.14). Поэтому значения ячеек A2 и A3 немного отличаются.3 (A2 – это ссылка на ячейку).

  • В ячейке A2 будем вводить разные радиусы и после каждого ввода в ячейке B2 будем получать результат вычисления объема сфер соответствующих своим радиусам.
  • Примечание. Если вы используете в Excel многократные вычисления или формулы содержащие ссылки на ячейки в качестве переменных значений, то всегда подписывайте каждую ячейку с входящими данными и формулами. Это позволит избежать ошибок и легко читать значения или результаты вычисления формул.

    Как рассчитать площадь прямоугольника, треугольника или круга в Excel

    Известно, что геометрия упрощает математику и вычисления. Площадь основных форм, таких как прямоугольник, треугольник и круг, можно вычислить с помощью определенных формул. Если вам нужно рассчитать площадь основных фигур для диапазона записей, Excel будет очень полезен. В этой статье мы объяснили процедуру вычисления площадей прямоугольника, круга и треугольника в Excel.

    Вычислить площадь прямоугольника в Excel

    Основная формула для вычисления площади прямоугольника в Excel: длина * высота. Таким образом, синтаксис формулы для определения площади прямоугольника в Excel будет выглядеть так:

    =<cell with length>*<cell with height>

    Например. Предположим, у нас есть список длин прямоугольников, распределенных по столбцу A от ячейки A3 до A11, и высоты прямоугольников, распределенных по столбцу B от B3 до B11. Нам нужна площадь прямоугольника в столбце C от C3 до C11.

    Теперь формула прямоугольника для C3 будет выглядеть так:

    =A3*B3

    Вы можете использовать функцию Fill, чтобы переместить формулу до C11. Просто щелкните за пределами ячейки C3 и вернитесь к ней. Затем используйте кнопку заполнения в правом нижнем углу, чтобы сдвинуть выделение до C11.

    Вычислить площадь треугольника в Excel

    Формула для вычисления площади треугольника: (длина * высота) / 2. Таким образом, синтаксис формулы для определения площади треугольника в Excel будет выглядеть так:

    =(<cell with length>*<cell with height>)/2

    Например. Давайте рассмотрим длину и высоту в столбцах A и B, как в предыдущем примере. Нам нужны площади треугольников в столбце D от D3 до D11.

    Теперь формула для треугольников для C3 будет выглядеть так:

    =(A3*B3)/2

    Вы можете использовать функцию Fill, как объяснялось ранее, чтобы перенести формулу до D11.

    Вычислить площадь круга в Excel

    Площадь круга равна 3,14 * (радиус * радиус). Чтобы создать формулу в Excel, я мог бы предложить экспоненциальную функцию, однако, поскольку цель состоит в том, чтобы просто найти квадрат, мы можем немного изменить формулу. Синтаксис поиска площади круга в Excel выглядит следующим образом:

    =3.14*<cell with radius>*<cell with radius>

    Например, если у нас есть список радиусов в столбце F от F3 до F11 и нам нужны площади кругов в столбце G от G3 до G11, тогда формула для ячейки G3 будет выглядеть так:

    =3.14*F3*F3

    Вы можете использовать функцию Fill, чтобы перетащить формулу в ячейку G11.

    Это работает?

    Периметр, площадь и объем

    1. периметр из многоугольник (или любая другая замкнутая кривая, например круг) — это расстояние вокруг внешней стороны.

    2. площадь из простая, замкнутая, плоская кривая — это объем пространства внутри.

    3. объем из твердый 3 Д форма – это количество пространства, вытесненного ею.

    Некоторые формулы для общих 2 -мерные плоские фигуры и 3 -мерные тела приведены ниже.Ответов один, два, или три измерения; периметр измеряется в линейные единицы , площадь измеряется в квадратные единицы , а также объем измеряется в кубические единицы .

    Стол 1 . Формулы периметра

    Форма

    Формула

    Переменные

    Квадратный

    п знак равно 4 с

    с это длина стороны квадрата.

    Прямоугольник

    п знак равно 2 л + 2 Вт

    л а также Вт длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

    Треугольник

    а + б + с

    а , б , а также с являются длинами сторон.

    п знак равно а + б + а 2 + б 2

    а а также б это длины двух катетов треугольника

    Круг

    р это радиус и г это диаметр.

    Таблица 2. Формулы площади

    Форма

    Формула

    Переменные

    Квадратный

    с это длина стороны квадрата.

    Прямоугольник

    л а также Вт длины сторон прямоугольника (длина и ширина).

    Треугольник

    А знак равно 1 2 б час

    б а также час это основание и высота

    Треугольник

    А знак равно с ( с − а ) ( с − б ) ( с − с ) куда с знак равно а + б + с 2

    а , б , а также с это длины сторон и с это полупериметр

    Параллелограмм

    б это длина основания и час это высота.

    Трапеция

    А знак равно б 1 + б 2 2 час

    б 1 а также б 2 – длины параллельных сторон и час расстояние (высота) между параллелями.

    Круг

    А знак равно π р 2

    р это радиус.

    Таблица 3. Формулы объема

    Форма

    Формула

    Переменные

    куб

    с это длина стороны.

    Правая прямоугольная призма

    л это длина, Вт это ширина и ЧАС это высота.

    Призма или цилиндр

    А площадь основания, час это высота.

    Пирамида или конус

    А площадь основания, час это высота.

    Сфера

    р это радиус.

    Что такое формула площади? – Определение, факты и примеры

    Формула площади

    Термин «область» относится к пространству внутри границы или периметра замкнутой формы. Геометрия такой формы содержит как минимум три стороны, соединенные вместе, образуя границу.Символическое представление такого пространства в математике относится к формуле «площади».

    Для представления и рисования реальных объектов дизайнеры и архитекторы используют различные формы, такие как круги, треугольники, четырехугольники и многоугольники.

    Случайные формы, чтобы показать область, покрытую картой, кортом и бассейном.

    Изобретение колеса было первым шагом к преобразованию объектов в геометрические формы. В первые дни интерпретация «площади» с использованием формулы для геометрических фигур развилась из экспериментов, проведенных Архимедом.

    Получение формул площади
    • «Площадь» любого объекта можно объяснить так:

    • Количество материала (например, бумаги, ткани, плитки), необходимого для покрытия поверхности в двухмерной плоскости.

    • Для трехмерных объектов, таких как сфера, шар, куб или прямоугольный параллелепипед, это называется площадью поверхности.

    Расчет площади

    Самый простой способ интерпретировать площадь геометрических фигур — использовать «единичные квадраты».Единичный квадрат — это квадрат, длина каждой стороны которого равна 1 единице. Используя это в качестве основы, площадь многоугольника представляет собой количество единичных квадратов внутри фигуры.

    В таблице ниже перечислены формы и формула площади:

    Площадь = 1 2 × основание × высота
    Площадь = 1 2  × b × h

    Площадь = длина × длина

    Площадь = l2

    Площадь = длина х ширина

    Площадь = л × б

    Площадь = π × радиус × радиус

    Площадь = π × r2

    (π = 3.14)

     

    С помощью этих формул также рассчитывается площадь различных четырехугольников (частный случай многоугольников с четырьмя сторонами и углами ≠ 90°).

    Применение

    Понятие площади является основой геометрии с первых дней существования. Ученые и астрономы воспользовались помощью узоров и геометрических форм, чтобы понять и установить передовые концепции в науке и математике. В современном аспекте при математическом моделировании таких объектов, как машины, инструменты, колеса, а также при проектировании одежды используются понятия площади и периметра.Он также служит основой для интегрального исчисления для понимания сложных объектов, таких как сферы и эллипсы.

    Интересные факты 

     

    Формула площади

    Площадь двумерной формы или геометрической фигуры – это пространство, содержащееся в пределах ее периметра.

    Формулы площади обычных фигур

    Точная площадь многих распространенных форм может быть рассчитана с использованием четко определенных формул.

    Круг

    Площадь круга с радиусом r:

    А = πr 2

    Треугольник

    Площадь треугольника с основанием b и высотой h равна:

    Если известны длины сторон треугольника, площадь можно найти с помощью:

    , где a, b и c — длины сторон, а

    Равносторонний треугольник

    Площадь равностороннего треугольника со стороной, с, равна:

    Квадрат

    Площадь квадрата со стороной s:

    А = с 2

    Прямоугольник

    Площадь прямоугольника с длиной l и шириной w равна:

    А = lw

    Параллелограмм

    Площадь параллелограмма с основанием b и высотой h равна:

    А = чч

    Трапеция

    Площадь трапеции с основаниями b 1 и b 2 и высотой h равна:

    Воздушный змей и ромб

    Площадь воздушного змея или ромба с диагональю d 1 и d 2 составляет:

    Правильный шестигранник

    Площадь правильного шестиугольника со стороной s равна:

    Правильный пятиугольник

    Площадь правильного пятиугольника со стороной s равна:

    Правильный восьмиугольник

    Площадь правильного восьмиугольника со стороной s:

    Эллипс

    Площадь эллипса с большой полуосью а и малой полуосью b равна:

    А = πab

    Площадь составной фигуры

    Многие геометрические фигуры состоят из двух или более обычных фигур, и их площади можно рассчитать, используя комбинацию приведенных выше формул площади.Такие геометрические фигуры называются составными фигурами.

    Пример:

    Найдите площадь составной фигуры ниже с точностью до десятых. Фигура состоит из равностороннего треугольника, прямоугольника и полукруга (половины круга).

    Используя формулу площади равностороннего треугольника и длины стороны 10:

    Длина и ширина прямоугольника равны 10 и 4 дюйма соответственно, поэтому его площадь равна

    .

    А = 10×4 = 40

    Площадь полукруга равна половине площади круга.Полукруг имеет радиус 5, а его площадь можно найти, разделив пополам формулу площади круга:

    .

    Общая площадь составной фигуры равна сумме всех ее частей:

    А = 86,6 + 40 + 39,3 = 122,6

    Формула площади круга

    Площадь круга определяется путем умножения константы круга (тау) на квадрат радиуса круга.

    Выражение Описание
    Площадь круга.
    Постоянная окружности (тау), где
    Радиус окружности.
    Примечание: Этот веб-сайт использует константу (тау) вместо (пи) в качестве постоянной окружности по умолчанию. Подстановку можно использовать для перевода между двумя константами.

    Площадь круга определяется путем умножения константы круга (тау) на квадрат радиуса круга. Например, чтобы найти площадь круга с радиусом длины, формула:

    Площадь круга с радиусом длины равна единицам в квадрате.Это значение можно подставить в выражение, чтобы вычислить площадь, равную приблизительно единицам в квадрате.

    Чтобы вычислить площадь круга при радиусе, равном единице, составьте уравнение для площади круга и подставьте значение радиуса в уравнение.

    1. Подставьте радиус вместо переменной .

    2. Вычислите выражение экспоненты.

    3. Вычислите выражение умножения.

      Площадь круга равна единицам в квадрате.

    Чтобы вычислить площадь круга при радиусе, равном единице, составьте уравнение для площади круга и подставьте значение радиуса в уравнение.

    1. Подставьте радиус вместо переменной .

    2. Вычислите выражение экспоненты.

    3. Вычислите выражение умножения.

      Площадь круга равна единицам в квадрате или приблизительно равна единицам в квадрате.

    Чтобы вычислить площадь круга при радиусе, равном единице, составьте уравнение для площади круга и подставьте значение радиуса в уравнение.

    1. Подставьте радиус вместо переменной .

    2. Вычислите выражение экспоненты.

    3. Вычислите выражение умножения.

      Площадь круга равна единицам в квадрате или приблизительно равна единицам в квадрате.

    Формула площади круга может быть получена несколькими способами с использованием исчисления [1] или с помощью визуального доказательства, как показано ниже.

    Формулу площади круга можно визуально проверить, разделив площадь на соцентрические кольца. Если развернуть кольца и сложить их вместе, получится треугольник. По мере того, как количество колец приближается к бесконечности, их площадь приближается к площади образуемого ими треугольника. Это показано на серии иллюстраций ниже:

    Напомним, что площадь треугольника находится по формуле:

    Затем мы можем подставить в формулу длину основания и высоту.Основание равно длине окружности, которая определяется постоянной окружности, умноженной на радиус. Высота равна радиусу окружности. Это наглядное доказательство дает нам формулу площади круга.

    Постоянная окружности τ (тау) — геометрическая константа, приблизительно равная 6,283. Числовое значение определяется как длина окружности любого круга, деленная на длину его радиуса.

    Площадь треугольника равна половине, умноженной на его ширину и высоту.

    1. Формула вычисления площади круга

      Вумбо (внутренний)

    %PDF-1.3 % 92 0 объект > эндообъект внешняя ссылка 92 81 0000000016 00000 н 0000001968 00000 н 0000002584 00000 н 0000002816 00000 н 0000003398 00000 н 0000003648 00000 н 0000004442 00000 н 0000005236 00000 н 0000005691 00000 н 0000005784 00000 н 0000006138 00000 н 0000006932 00000 н 0000007217 00000 н 0000007534 00000 н 0000008334 00000 н 0000008598 00000 н 0000009393 00000 н 0000009664 00000 н 0000009887 00000 н 0000010181 00000 н 0000010686 00000 н 0000010879 00000 н 0000011091 00000 н 0000011387 00000 н 0000011459 00000 н 0000011482 00000 н 0000012566 00000 н 0000012588 00000 н 0000013650 00000 н 0000013672 00000 н 0000014627 00000 н 0000014847 00000 н 0000015368 00000 н 0000015433 00000 н 0000015720 00000 н 0000015910 00000 н 0000015932 00000 н 0000016887 00000 н 0000016909 00000 н 0000017930 00000 н 0000017952 00000 н 0000018979 00000 н 0000019769 00000 н 0000020106 00000 н 0000020128 00000 н 0000020985 00000 н 0000021007 00000 н 0000021932 00000 н 0000023879 00000 н 0000025315 00000 н 0000026227 00000 н 0000028284 00000 н 0000032340 00000 н 0000035217 00000 н 0000035357 00000 н 0000035495 00000 н 0000035634 00000 н 0000035731 00000 н 0000035828 00000 н 0000035930 00000 н 0000036027 00000 н 0000036124 00000 н 0000036227 00000 н 0000036334 00000 н 0000036442 00000 н 0000036542 00000 н 0000036639 00000 н 0000036736 00000 н 0000036833 00000 н 0000036930 00000 н 0000037027 00000 н 0000037124 00000 н 0000037221 00000 н 0000037318 00000 н 0000037415 00000 н 0000037512 00000 н 0000037623 00000 н 0000037731 00000 н 0000037848 00000 н 0000002053 00000 н 0000002562 00000 н трейлер ] >> startxref 0 %%EOF 93 0 объект > эндообъект 171 0 объект > поток Hb“`a“e`g`[email protected]

    Площадь треугольника (формула Герона) Калькулятор

    [1]  2022/03/05 03:27   До 20 лет / Начальная школа/ Неполная средняя школа студент / очень /

    Цель использования
    проверить правильность ответов
    комментарий/запрос
    вы отлично поработали

    [2]  2022/02/17 01:51   60 лет / Пенсионер / Совсем нет /

    Назначение
    Для вычисления площади треугольника
    Комментарий/Запрос
    Пожалуйста, добавьте больше возможностей ty

    [3]  2022/02/11 06:57 До 20 лет / Высшая школа / Университет / Аспирант / Совсем нет /

    Цель использования
    Я хочу узнать больше о математике

    [4]  2022/02/11 00:17   50 лет уровень / Преподаватель / Исследователь / Полезное /

    Цель использования
    проверка работы по нахождению радиуса окружности ins в треугольнике
    Комментарий/Запрос
    Отличная программа! Спасибо!

    [5]  2021/12/17 18:46   – / – / – /

    Комментарий/запрос
    как найти стороны прямоугольного треугольника, имеющего только площадь

    [6]  2021 /12/09 12:45   Младше 20 лет / Старшая школа/ Университет/ Аспирант / Очень /

    Цель использования
    найти площадь треугольника по формуле Герона

    [7]  2021/12/ 07 14:12   Младше 20 лет / Начальная школа/ Ученик младших классов / Очень /

    Цель использования
    Семиклассник, хотел вычислить площадь треугольника по формуле Герона, очень помогло

    [ 8]  2021/12/05 21:53   Младше 20 лет / Старшая школа/ Университет/ Аспирант / Немного /

    Цель использования
    для проверки моего задания, но

    [9]  2021/11/ 25 13:40   40-летний уровень / Самозанятые люди / Полезное /

    Цель использования
    Измерение площади парусов треугольный парус

    [10]  16.11.2021 12:10   30-летний уровень / Учитель / Исследователь / Полезный /

    Цель использования
    Разработка контрольных вопросов — проще проверять числа, чем пересчитывать вручную.

    Какая формула площади прямоугольника и квадрата?

    Менсурация — греческое слово, означающее «измерение». Измерение — это раздел математики, который включает в себя вычисление геометрических фигур, таких как квадраты, прямоугольники, конусы, цилиндры и т. д. С помощью измерения можно научиться вычислять площадь, параметр, площадь поверхности и т. д., которые являются основными почти всех вычислений в области математики. Теперь давайте начнем с самой основной формулы измерения i.е. Район. Давайте сначала разберемся, что такое область.

    Площадь

    Площадь — это размер поверхности или объем пространства, занимаемый замкнутой областью. Он рассчитывается для 2D-фигур и выражается в таких единицах, как м 2 , см 2 и т. д. Единицей площади всегда является квадратная единица. Обозначается буквой А. На приведенной ниже диаграмме показаны примеры геометрических фигур и их расчетная площадь:

    Давайте теперь посмотрим на формулу расчета площади прямоугольника

    Что такое формула площади из квадрата и прямоугольника?

    Прямоугольник представляет собой геометрическую фигуру с четырьмя сторонами, каждый угол которой равен 90°.Из четырех сторон две стороны прямоугольника равны и параллельны, причем одна сторона длиннее другой. Прямоугольник выглядит так, как показано на рисунке ниже:

                      Площадь прямоугольника

    На приведенном выше рисунке длинная сторона представляет собой длину, а более короткая сторона представляет собой ширину прямоугольника.

    Формула

    Формула для вычисления площади прямоугольника может быть получена с помощью следующих шагов:

    1. Длина и ширина (Ширина) прямоугольника должны быть известны заранее.
    2. Длина и ширина умножаются, и в результате получается искомая площадь.
    3. Единицей площади является квадрат единицы его длины и ширины

    Из приведенных выше шагов формула прямоугольника может быть записана следующим образом.

    Площадь прямоугольника (A) = длина (L) × ширина (B), где L — длина прямоугольника, а B — ширина прямоугольника.

    Примечание Если единицы длины и ширины не совпадают, их следует преобразовать в одну единицу.Например, Если длина в см, а ширина в м, то обе стороны следует изменить либо на м, либо на см.

    Свойства прямоугольника

    1. Противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны.
    2. Диагональ одинаковой длины.
    3. Все углы равны 90°.
    4. Диагонали прямоугольника делятся пополам.
    Квадрат

    Квадрат — это геометрическая фигура, все четыре стороны которой имеют одинаковую длину. Каждая сторона образует угол 90°.Все четыре стороны квадрата равны и параллельны. Квадрат — это то же самое, что и прямоугольник, с той лишь разницей, что у квадрата все стороны равны. Квадрат выглядит так, как показано на рисунке ниже:

           Площадь квадрата

    Формула

    Формулу для вычисления площади квадрата можно записать так:

    Площадь квадрата (A) = длина = Ширина = a × a = a 2 , где a — сторона квадрата.

    Свойства квадрата

    1. Все стороны квадрата имеют одинаковую длину.
    2. Углы каждой стороны равны, т.е. 90 градусов
    3. Противоположные стороны квадрата параллельны.
    4. Длины диагоналей равны.

    Примеры задач

    Вопрос 1: Найдите площадь прямоугольника, длина которого 5 см, а ширина 2 см.

    Дано,

    Длина = 5 см

    Формула = 2 см

    Формула:

    a = длина × Ширина

    a = 5см × 2 см = 10см 2

    Вопрос 2: Найдите площадь прямоугольника, длина и ширина которого равны 10 см и 0.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    Начните вводить, то что вы ищите выше и нажмите кнопку Enter для поиска. Нажмите кнопку ESC для отмены.

    Вернуться наверх