Как найти площадь правило: Как найти площадь прямоугольника? Ответ на webmath.ru

Содержание

§ Площадь фигур. Площадь квадрата. Площадь прямоугольника. Площадь сложной фигуры

Две фигуры называют равными, если одну их них можно так наложить на другую, что эти фигуры совпадут.

Площади равных фигур равны. Их периметры тоже равны.

Площадь квадрата

Запомните!

Для вычисления площади квадрата нужно умножить его длину на саму себя.

S = a · a

Пример:

SEKFM = EK · EK

SEKFM = 3 · 3 = 9 см2

Формулу площади квадрата, зная определение степени, можно записать следующим образом:

S = a2

Площадь прямоугольника

Запомните!

Для вычисления площади прямоугольника нужно умножить его длину на ширину.

S = a · b

Пример:

SABCD = AB · BC

SABCD = 3 · 7 = 21 см2


Запомните!

Нельзя вычислять периметр или площадь, если длина и ширина выражены в разных единицах длины.

Обязательно проверяйте, чтобы и длина, и ширина были выражены в одинаковых единицах, то есть обе в см, м и т.д.

Площадь сложных фигур

Запомните!

Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Задача: найти площадь огородного участка.

Так как фигура на рисунке не является ни квадратом, ни прямоугольником, рассчитать её площадь можно используя правило выше.

Разделим фигуру на два прямоугольника, чьи площади мы можем легко рассчитать по известной формуле.

SABCE = AB · BC
SEFKL = 10 · 3 = 30 м2
SCDEF = FC · CD
SCDEF = 7 · 5 = 35 м2

Чтобы найти площадь всей фигуры, сложим площади найденных прямоугольников.
S = SABCE + SEFKL
S = 30 + 35 = 65 м2

Ответ: S = 65 м2 — площадь огородного участка.


Свойство ниже может вам пригодиться при решении задач на площадь.

Запомните!

Диагональ прямоугольника делит прямоугольник на два равных треугольника.

Площадь любого из этих треугольников равна половине площади прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник:

АС — диагональ прямоугольника ABCD. Найдём площадь треугольников ABC и ACD

Вначале найдём площадь прямоугольника по формуле.

SABCD = AB · BC
SABCD = 5 · 4 = 20 см2

S ABC = SABCD : 2

S ABC = 20 : 2 = 10 см2

S ABC = S ACD = 10 см2



Урок 22. площадь прямоугольника - Математика - 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №22. Площадь прямоугольника

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  1. Как вычислить площадь прямоугольника?
  2. В каких единицах измеряется площадь?
  3. Какими способами можно сравнить геометрические фигуры?

Глоссарий по теме:

Площадь – внутренняя часть любой плоской геометрической фигуры.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые.

Квадратный сантиметр – квадрат со стороной 1 сантиметр.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. – с. 60-61.

2. Рудницкая В. Н. Тесты по математике:3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2016 с. 38-43.

3. Волкова Е. В. ВПР. Математика 3 класс Практикум по выполнению типовых заданий. ФГОС .М.: Издательство «Экзамен», 2018, с. 36-53.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Упоминание о первых геометрических фигурах встречается еще у древних египтян и древних шумеров. Учёными-археологами (они ищут разные исторические древности) был найден папирусный свиток (бумага древних египтян, изготавливаемая из растения папирус) с геометрическими задачами, в которых упоминались геометрические фигуры. И каждая из них называлась каким-то определенным словом. Одним определенным словом называлась фигура прямоугольник независимо от того какие стороны были у этого прямоугольника. А если у прямоугольника все стороны были одинаковые, то такой прямоугольник имел специальное название – квадрат.  Таким образом, значит, что уже в те далекие времена люди имели представление о геометрии и знали изучаемые этой наукой фигуры. Название «геометрическая фигура» придумали древние греки. И названия всем геометрическим фигурам дали тоже древнегреческие учёные.

Найдём площадь геометрической фигуры.

Чтобы найти площадь фигуры, надо узнать сколько раз в фигуре поместится квадрат со стороной 1 см. Площадь этой геометрической фигуры составляет 18 квадратов. Для удобства подсчёта количество квадратов можно воспользоваться знаниями таблицы умножения. По 6 взять 3 раза получится 18 квадратов.

Найдём площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 3 см.

Для этого достаточно умножить длину на ширину. 6 ∙ 3 = 18 см2

Таким образом, формулируем вывод: чтобы найти площадь прямоугольника, надо длину умножить на ширину.

S = a ∙ b

S – площадь

a – длина

b – ширина

Задания тренировочного модуля:

1. Заполните пропуски в таблице.

Правильный ответ:

2. Длина прямоугольника 8см, ширина 4 см. Чему равна площадь прямоугольника? Выделите правильный ответ.

12 см; 32 см; 24 см2; 32 см2; 24; 12 см2.

Правильный ответ:32см2.

3 класс, периметр и площадь прямоугольника

Дата публикации: .

Что такое прямоугольник и квадрат

Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Значит, противоположные стороны равны друг другу.

Квадрат – это прямоугольник, у которого равны и стороны, и углы. Его называют правильным четырёхугольником.


Четырёхугольники, в том числе прямоугольники и квадраты, обозначаются 4 буквами – вершинами. Для обозначения вершин используют латинские буквы: A, B, C, D ...

Пример.
Читается так: четырёхугольник ABCD; квадрат EFGH.

Что такое периметр прямоугольника? Формула расчета периметра


Периметр прямоугольника
– это сумма длин всех сторон прямоугольника или сумма длины и ширины, умноженная на 2.

Периметр обозначается латинской буквой P. Так как периметр – это длина всех сторон прямоугольника, то он периметр записывается в единицах длины: мм, см, м, дм, км.

Например, периметр прямоугольника АВСD обозначается как PABCD, где А, В, С, D – это вершины прямоугольника.

Запишем формулу периметра четырехугольника ABCD:

PABCD = AB + BC + CD + AD = 2 * AB + 2 * BC = 2 * (AB + BC)


Пример.
Задан прямоугольник ABCD со сторонами: AB=СD=5 см и AD=BC=3 см.
Определим PABCD.

Решение:
1. Нарисуем прямоугольник ABCD с исходными данными.
2. Напишем формулу для расчета периметра данного прямоугольника:

PABCD = 2 * (AB + BС)


3. Подставим в формулу наши данные:

PABCD = 2 * (5 см + 3 см) = 2 * 8 см = 16 см


Ответ: PABCD = 16 см.

Формула расчета периметра квадрата


У нас есть формула для определения периметра прямоугольника.

P

ABCD = 2 * (AB + BC)


Применим её для определения периметра квадрата. Учитывая, что все стороны квадрата равны, получаем:

PABCD= 4 * AB


Пример.
Задан квадрат ABCD со стороной, равной 6 см. Определим периметр квадрата.

Решение.
1. Нарисуем квадрат ABCD с исходными данными.

2. Вспомним формулу расчета периметра квадрата:

PABCD = 4 * AB


3. Подставим в формулу наши данные:

PABCD = 4 * 6 см = 24 см

Ответ: PABCD = 24 см.

Задачи на нахождение периметра прямоугольника

1. Измерь ширину и длину прямоугольников. Определи их периметр.

2. Нарисуй прямоугольник ABCD со сторонами 4 см и 6 см. Определи периметр прямоугольника.

3. Нарисуй квадрат СEOM со стороной 5 см. Определи периметр квадрата.

Где используется расчет периметра прямоугольника?


1. Задан участок земли, его нужно обнести забором. Какой длины будет забор?


В данной задаче необходимо точно рассчитать периметр участка, чтобы не купить лишний материал для постройки забора.

2. Родители решили сделать ремонт в детской комнате. Необходимо знать периметр комнаты и её площадь, чтобы правильно рассчитать количество обоев.

Определи длину и ширину комнаты, в которой ты живешь. Определи периметр своей комнаты.

Что такое площадь прямоугольника?


Площадь – это числовая характеристика фигуры. Площадь измеряется квадратными единицами длины: см2, м2, дм2 и др. (сантиметр в квадрате, метр в квадрате, дециметр в квадрате и т.д.)
В вычислениях обозначается латинской буквой S.

Для определения площади прямоугольника необходимо длину прямоугольника умножить на его ширину.
Площадь прямоугольника вычисляется умножением длины АК на ширину КМ. Запишем это в виде формулы.

S AKMO = AK * KM


Пример.
Чему равна площадь прямоугольника AKMO, если его стороны равны 7 см и 2 см?

S AKMO= AK * KM = 7 см * 2 см = 14 см2.

Ответ: 14 см2.

Формула вычисления площади квадрата


Площадь квадрата можно определить, умножив сторону саму на себя.

Пример.
В данном примере площадь квадрата вычисляется умножением стороны АB на ширину BC, но так как они равны, получается умножение стороны AB на AB.

S AВСО = AB * BC = AB * AB


Пример.
Определи площадь квадрата AKMO со стороной 8 см.

S AKMО = AK * KM = 8 см * 8 см = 64 см2

Ответ: 64 см2.

Задачи на нахождение площади прямоугольника и квадрата


1.Задан прямоугольник со сторонами 20 мм и 60 мм. Вычисли его площадь. Запиши ответ в квадратных сантиметрах.

2. Был куплен дачный участок размером 20 м на 30 м. Определи площадь дачного участка, ответ запиши в квадратных сантиметрах.


Площадь прямоугольника — как ее найти по основной формуле, а также через диагональ и периметр

Обновлено 22 июля 2021
  1. Что такое площадь
  2. Как найти площадь прямоугольника
  3. Формула площади через периметр
  4. Площадь прямоугольника через диагональ

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

Сегодня мы расскажем, как вычислять площадь прямоугольника.

Различные формулы вычисления площади (а их действительно немало), изучают в 8 классе школы.

Что такое площадь прямоугольника

Но для начала давайте все-таки дадим основные определения:

Прямоугольник – это геометрическая фигура, относящаяся к категории четырехугольников. Ее отличительная особенность в том, что противоположные стороны лежат на параллельных прямых (то есть параллельны друг другу) и равны.

Прямоугольник является параллелограммом (что это такое?) и выглядит вот так:

А частным случаем прямоугольника, если у него все стороны равны между собой, является квадрат.

Площадь любой геометрической фигуры, формально говоря, это ее размер. Другими словами, размер того пространства, которое находится внутри границ фигуры.

В отношении четырехугольников применимо еще понятие «квадратура». С его помощью показывали, сколько квадратов вместится внутрь фигуры.

Собственно, отсюда и пошло современное обозначение площадей, когда речь идет о габаритах помещения или какой-то территории. Мы часто слышим «столько-то квадратных метров (миллиметров, сантиметров, километров)» или просто «столько-то квадратов».

Для площади геометрических фигур действуют определенные правила:

  1. Она не может быть отрицательной.
  2. У равных фигур всегда равные площади.
  3. Если две фигуры не пересекаются друг с другом, то их общая площадь равна сумме площадей фигур по отдельности.
  4. Если одна фигура вписана в другую, то ее площадь всегда меньше, чем у второй.

Обычно фигуры, которые имеют равные площади, называют «равновеликими».

Как найти площадь прямоугольника

Площадь прямоугольника вычисляется по очень простой формуле – надо лишь перемножить его стороны.

Возьмем, к примеру, такой прямоугольник:

Площадь геометрической фигуры обычно обозначается латинской буквой «S». И тогда формула для конкретного примера будет:

Например, если мы имеем прямоугольник со сторонами 2 и 3 сантиметра, то его площадь составит 2 * 3 = 6 сантиметров.

Но бывают случаи, когда неизвестны размеры сторон прямоугольника, а площадь вычислить все равно надо. Для этого существуют более сложные формулы.

Формула площади прямоугольника через периметр

Если известна длина только одной стороны, но известен еще и периметр прямоугольника.

В этом случае есть два варианта.

  1. Первый — вычислить длину второй стороны. Для этого надо вспомнить, что периметр (обозначается буквой «Р») считается по формуле:

    И тогда обратные расчеты выглядят вот так:

    Ну а после того, как станет известна длина второй стороны прямоугольника, можно прибегнуть к классической формуле.
  2. Ну и второй вариант – воспользоваться сразу готовой формулой:

Площадь прямоугольника через диагональ

  1. Известна одна сторона и длина диагонали.

    Тут опять же есть два варианта. В первом случае вычисляем длину второй стороны, используя теорему Пифагора.

    Второй вариант – опять же сразу прибегнуть к готовой формуле:

  2. Если известны длина диагоналей и угол между ними.

    В этом случае стоит воспользоваться вот такой формулой:

Вот и все, что нужно знать о вычислении площади прямоугольников.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Формулы площадей всех основных фигур

1. Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол

b - верхнее основание

a - нижнее основание

c - равные боковые стороны

α - угол при нижнем основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны, (S):

 

Формула площади равнобедренной трапеции через стороны и угол, (S):

 

 

2. Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности

R - радиус вписанной окружности

D - диаметр вписанной окружности

O - центр вписанной окружности

H - высота трапеции

α, β - углы трапеции

 

Формула площади равнобокой трапеции через радиус вписанной окружности, (S):

СПРАВЕДЛИВО, для вписанной окружности в равнобокую трапецию:

 

 

3. Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними

d - диагональ трапеции

α, β - углы между диагоналями

 

Формула площади равнобедренной трапеции через диагонали и угол между ними, (S):

 

 

4. Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

m - средняя линия трапеции

c - боковая сторона

α, β - углы при основании

 

Формула площади равнобедренной трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании, (S ):

 

 

5. Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту

b - верхнее основание

a - нижнее основание

h - высота трапеции

 

Формула площади равнобедренной трапеции через основания и высоту, (S):

 

Как правильно найти площадь фигуры. Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры. Треугольник. Через основание и высоту

Существует бесконечное количество плоских фигур самой разной формы, как правильных, так и неправильных. Общее свойство всех фигур - любая из них обладает площадью. Площади фигур - это размеры части плоскости, занимаемой этими фигурами, выраженные в определенных единицах. Величина эта всегда бывает выражена положительным числом. Единицей измерения служит площадь квадрата, чья сторона равняется единице длины (например, одному метру или одному сантиметру). Приблизительное значение площади любой фигуры можно вычислить, умножив количество единичных квадратов, на которые она разбита, на площадь одного квадрата.

Другие определения данного понятия выглядят следующим образом:

1. Площади простых фигур - скалярные положительные величины, удовлетворяющие условиям:

У равных фигур - равные величины площадей;

Если фигура делится на части (простые фигуры), то ее площадь - сумма площадей данных фигур;

Квадрат, имеющий стороной единицу измерения, служит единицей площади.

2. Площади фигур сложной формы (многоугольников) - положительные величины, имеющие свойства:

У равных многоугольников - одинаковые величины площадей;

В случае, если многоугольник составляют несколько других многоугольников, его площадь равняется сумме площадей последних. Это правило справедливо для неперекрывающихся многоугольников.

В качестве аксиомы принято утверждение, что площади фигур (многоугольников) - положительные величины.

Определение площади круга дается отдельно как величины, к которой стремится площадь вписанного в окружность данного круга - при том, что число его сторон стремится к бесконечности.

Площади фигур неправильной формы (произвольных фигур) не имеют определения, определяются лишь способы их вычисления.

Вычисление площадей уже в древности было важной практической задачей при определении размеров земельных участков. Правила вычисления площадей за несколько сотен лет были сформулированы греческими учеными и изложены в «Началах» Евклида как теоремы. Интересно, что правила определения площадей простых фигур в них - те же, что и в настоящее время. Площади имеющих криволинейный контур, рассчитывались с применением предельного перехода.

Вычисление площадей простых прямоугольника, квадрата), знакомых всем со школьной скамьи, достаточно просто. Необязательно даже запоминать содержащие буквенные обозначения формулы площадей фигур. Достаточно помнить несколько простых правил:

2. Площадь прямоугольника вычисляется умножением его длины на ширину. При этом необходимо, чтобы длина и ширина были выражены в одних и тех же единицах измерения.

3. Площадь сложной фигуры вычисляем, разделив ее на несколько простых и сложив полученные площади.

4. Диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, чьи площади равны и равняются половине его площади.

5. Площадь треугольника вычисляется как половина произведения его высоты и основания.

6. Площадь круга равняется произведению квадрата радиуса на всем известное число «π».

7. Площадь параллелограмма вычисляем как произведение смежных сторон и синуса лежащего между ними угла.

8. Площадь ромба - ½ результата умножения диагоналей на синус внутреннего угла.

9. Площадь трапеции находим умножением ее высоты на длину средней линии, которая равняется среднему арифметическому оснований. Другой вариант определения площади трапеции - перемножить ее диагонали и синус лежащего между ними угла.

Детям в начальной школе для наглядности часто даются задания: найти площадь нарисованной на бумаге фигуры с помощью палетки или листа прозрачной бумаги, разграфленной на клеточки. Такой лист бумаги накладывается на измеряемую фигуру, считается число полных клеточек (единиц площади), поместившихся в ее контуре, затем число неполных, которое делится пополам.

Как найти площадь фигуры?


Знать и уметь рассчитывать площади различных фигур необходимо не только для решения простых геометрических задач. Не обойтись без этих знаний и при составлении или проверке смет на ремонт помещений, расчета количества необходимых расходных материалов. Поэтому давайте разберемся, как находить площади разных фигур.

Часть плоскости, заключенная внутри замкнутого контура, называется площадью этой плоскости. Выражается площадь количеством заключенных в ней квадратных единиц.

Чтобы вычислить площадь основных геометрических фигур, необходимо использовать правильную формулу.

Площадь треугольника

Обозначения:
  1. Если известны h, a, то площадь искомого треугольника определяется как произведение длин стороны и высоты треугольника, опущенной к этой стороне, разделенное пополам: S=(a·h)/2
  2. Если известны a, b, c, то искомая площадь рассчитывается по формуле Герона: корень квадратный, взятый из произведения половины периметра треугольника и трех разностей половины периметра и каждой стороны треугольника: S = √(p·(p - a)·(p - b)·(p - c)).
  3. Если известны a, b, γ, то площадь треугольника определяется как половина произведения 2-х сторон, умноженная на значение синуса угла между этими сторонами: S=(a·b·sin γ)/2
  4. Если известны a, b, c, R, то искомая площадь определяется как деление произведения длин всех сторон треугольника на четыре радиуса описанной окружности: S=(a·b·c)/4R
  5. Если известны p, r, то искомая площадь треугольника определяется умножением половины периметра на радиус вписанной в него окружности: S=p·r

Площадь квадрата

Обозначения:
  1. Если известна сторона, то площадь данной фигуры определяется как квадрат длины его стороны: S=a 2
  2. Если известна d, то площадь квадрата определяется как половина квадрата длины его диагонали: S=d 2 /2

Площадь прямоугольника

Обозначения:
  • S - определяемая площадь,
  • a, b - длины сторон прямоугольника.
  1. Если известны a, b, то площадь данного прямоугольника определяется произведением длин двух его сторон: S=a·b
  2. Если длины сторон неизвестны, то площадь прямоугольника нужно разбить на треугольники. В этом случае площадь прямоугольника определяется как сумма площадей составляющих его треугольников.

Площадь параллелограмма

Обозначения:
  • S - искомая площадь,
  • a, b - длины сторон,
  • h - длина высоты данного параллелограмма,
  • d1, d2 - длины двух диагоналей,
  • α - угол, находящийся между сторонами,
  • γ - угол, находящийся между диагоналями.
  1. Если известны a, h, то искомая площадь определяется перемножением длин стороны и высоты, опущенной на эту сторону: S=a·h
  2. Если известны a, b, α, то площадь параллелограмма определяется перемножением длин сторон параллелограмма и значения синуса угла между этими сторонами: S=a·b·sin α
  3. Если известны d 1 , d 2 , γ то площадь параллелограмма определяется как половина произведения длин диагоналей и значения синуса угла между этими диагоналями: S=(d 1 ·d 2 ·sinγ)/2

Площадь ромба

Обозначения:
  • S - искомая площадь,
  • a - длина стороны,
  • h - длина высоты,
  • α - меньший угол между двумя сторонами,
  • d1, d2 - длины двух диагоналей.
  1. Если известны a, h, то площадь ромба определяется умножением длины стороны на длину высоты, которая опущена на эту сторону: S=a·h
  2. Если известны a, α, то площадь ромба определяется перемножением квадрата длины стороны на синус угла между сторонами: S=a 2 ·sin α
  3. Если известны d 1 и d 2 , то искомая площадь определяется как половина произведения длин диагоналей ромба: S=(d 1 ·d 2)/2

Площадь трапеции

Обозначения:
  1. Если известны a, b, c, d, то искомая площадь определяется по формуле: S= (a+b) /2 *√ .
  2. При известных a, b, h, искомая площадь определяется как произведение половины суммы оснований и высоты трапеции: S=(a+b)/2·h

Площадь выпуклого четырехугольника

Обозначения:
  1. Если известны d 1 , d 2 , α, то площадь выпуклого четырехугольника определяется как половина произведения диагоналей четырехугольника, умноженная на величину синуса угла между этими диагоналями: S=(d 1 · d 2 ·sin α)/2
  2. При известных p, r площадь выпуклого четырехугольника определяется как произведение полупериметра четырехугольника на радиус окружности, вписанной в этот четырехугольник: S=p·r
  3. Если известны a, b, c, d, θ, то площадь выпуклого четырехугольника определяется как корень квадратный из произведений разницы полупериметра и длины каждой стороны за минусом произведения длин всех сторон и квадрата косинуса половины суммы двух противоположных углов: S 2 = (p - a)(p - b)(p - c)(p - d) - abcd·cos 2 ((α+β)/2)

Площадь круга

Обозначения:

Если известен r, то искомая площадь определяется как произведение числа π на радиус в квадрате: S=π r 2

Если известна d, то площадь круга определяется как произведение числа π на квадрат диаметра, поделенное на четыре: S=(π·d 2)/4

Площадь сложной фигуры

Сложную можно разбить на простые геометрические фигуры. Площадь сложной фигуры определяется как сумма или разность составляющих площадей. Рассмотрим, к примеру, кольцо.

Обозначение:
  • S - площадь кольца,
  • R, r - радиусы внешней окружности и внутренней соответственно,
  • D, d - диаметры внешней окружности и внутренней соответственно.

Для того чтобы найти площадь кольца, надо из площади большего круга отнять площадь меньшего круга. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Таким образом, если известны R и r, то площадь кольца определяется как разница квадратов радиусов внешней и внутренней окружностей, умноженная на число пи: S=π(R 2 -r 2).

Если известны D и d, то площадь кольца определяется как четверть разницы квадратов диаметров внешней и внутренней окружностей, умноженная на число пи: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Площадь закрашенной фигуры

Предположим, что внутри одного квадрата (А) находится другой (Б) (меньшего размера), и нам нужно найти закрашенную полость между фигурами "А" и "Б". Скажем так, "рамку" маленького квадрата. Для этого:

  1. Находим площадь фигуры "А" (вычисляется по формуле нахождения площади квадрата).
  2. Аналогичным образом находим площадь фигуры "Б".
  3. Вычитаем из площади "А" площадь "Б". И таким образом получаем площадь закрашенной фигуры.

Теперь вы знаете, как находить площади разных фигур.

Площади геометрических фигур - численные значения, характеризующие их размер в двумерном пространстве. Эта величина может измеряться в системных и внесистемных единицах. Так, например, внесистемная единица площади - сотка, гектар. Это в том случае, если измеряемой поверхностью является участок земли. Системная же единица площади - квадрат длины. В системе СИ принято считать, что единица площади плоской поверхности - это квадратный метр. В СГС единица площади выражается через квадратный сантиметр.

Геометрия и формулы площадей неразрывно связаны. Эта связь заключается в том, что вычисление площадей плоских фигур основывается именно на их применении. Для многих фигур выведены несколько вариантов, по которым вычисляются их квадратные размеры. Опираясь на данные из условия задачи, мы можем определить максимально простой способ для решения. Тем самым облегчить расчет и свести вероятность ошибки вычисления к минимуму. Для этого рассмотрим основные площади фигур в геометрии.

Формулы для нахождения площади любого треугольника представлены несколькими вариантами:

1) Площадь треугольника рассчитывается по основанию a и высоте h. Основанием считают сторону фигуры, на которую опущена высота. Тогда площадь треугольника:

2) Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается точно также, если гипотенузу считать основанием. Если же за основание принять катет, то площадь прямоугольного треугольника будет равна уменьшенному вдвое произведению катетов.

На этом формулы для вычисления площади любого треугольника не заканчиваются. Другое выражение содержит стороны a,b и синусоидальную функцию угла γ, заключенного между a и b. Значение синуса находится по таблицам. Также его можно узнать с помощью калькулятора. Тогда площадь треугольника:

По данному равенству тоже можно убедиться в том, что площадь прямоугольного треугольника определяется через длины катетов. Т.к. угол γ - прямой, поэтому площадь прямоугольного треугольника рассчитывается без умножения на функцию синуса.

3) Рассмотрим частный случай - правильный треугольник, у которого сторона a известна по условию или ее длина найдется при решении. О фигуре в задаче по геометрии больше ничего не известно. Тогда площадь как найти при этом условии? В этом случае применяется формула для площади правильного треугольника:

Прямоугольник

Как найти площадь прямоугольника и использовать при этом размеры сторон, имеющих общую вершину? Выражение для вычисления такое:

Если для вычисления площади прямоугольника требуется использовать длины диагоналей, то тогда понадобится функция синуса угла, образованного при их пересечении. Такая формула площади прямоугольника имеет вид:

Квадрат

Площадь квадрата определяют как вторую степень длины стороны:

Доказательство вытекает из определения, согласно которому квадратом называют прямоугольник. У всех сторон, образующих квадрат, одинаковые размеры. Поэтому вычисление площади такого прямоугольника сводится к перемножению одной на другую, т. е. ко второй степени стороны. И формула для вычисления площади квадрата примет искомый вид.

Площадь квадрата можно найти другим способом, например, если использовать диагональ:

Как вычислить площадь фигуры, которая образована частью плоскости, ограниченной окружностью? Для расчета площади формулы такие:

Параллелограмм

Для параллелограмма формула содержит линейные размеры стороны, высоты и математическое действие - умножение. Если же высота неизвестна, то тогда как найти площадь параллелограмма? Есть еще один способ вычисления. Потребуется определенное значение, которое примет тригонометрическая функция угла, образованного смежными сторонами, а также их длины.

Формулы площади параллелограмма таковы:

Ромб

Как найти площадь четырехугольника, называемого ромбом? Площадь ромба определяется с помощью простых математических действий с диагоналями. Доказательство опирается на тот факт, что отрезки диагоналей в d1 и d2 пересекаются под прямым углом. По таблице синусов видно, что для прямого угла данная функция равна единице. Поэтому площадь ромба рассчитывается так:

Еще площадь ромба может быть найдена другим способом. Доказать это тоже нетрудно, если учесть, что стороны его одинаковы по длине. Затем подставить их произведение в похожее выражение для параллелограмма. Ведь частным случаем именно этой фигуры является ромб. Здесь γ - внутренний угол ромба. Площадь ромба определяют так:

Трапеция

Как найти площадь трапеции через основания (a и b), если в задаче указаны их длины? Здесь без известного значения длины высоты h вычислить площадь такой трапеции не удастся. Т.к. эту величину содержит выражение для вычисления:

Квадратный размер прямоугольной трапеции тоже можно вычислить таким же способом. При этом учитывают, что в прямоугольной трапеции понятия высоты и боковой стороны объединены. Поэтому для прямоугольной трапеции нужно указывать вместо высоты длину боковой стороны.

Цилиндр и параллелепипед

Рассмотрим что нужно, чтобы рассчитать поверхность всего цилиндра. Площадь данной фигуры составляет пара кругов, называемых основаниями, и боковая поверхность. Окружности, образующие круги имеют длины радиусов, равные r. Для площади цилиндра имеет место такое вычисление:

Как найти площадь параллелепипеда, который состоит из трех пар граней? Его измерения совпадают с конкретной парой. Грани, находящиеся противоположно, имеют одинаковые параметры. Сначала находят S(1), S(2), S(3) - квадратные размеры неравных граней. Затем уже площадь поверхности параллелепипеда:

Кольцо

Две окружности с общим центром образуют кольцо. Они же ограничивают площадь кольца. При этом обе расчетные формулы учитывают размеры каждой окружности. Первая из них, вычисляющая площадь кольца, содержит больший R и меньший r радиусы. Чаще их называют внешним и внутренним. Во втором выражении площадь кольца рассчитывается через больший D и меньший d диаметры. Таким образом, площадь кольца по известным радиусам рассчитывают так:

Площадь кольца, с использованием длин диаметров, определяют следующим образом:

Многоугольник

Как найти площадь многоугольника, форма которого не является правильной? Общей формулы для площади таких фигур нет. Но если она изображена на координатной плоскости, например, это может быть клетчатая бумага, тогда как найти площадь поверхности в этом случае? Тут применяют способ, который не требует приблизительно измерить фигуру. Поступают так: если нашли точки, которые попадают в уголок клетки или имеют целые координаты, то учитывают только их. Чтобы затем выяснить, чему равна площадь, используют формулу, доказанную Пиком. Необходимо сложить количество точек, расположенных внутри ломаной линии с половиной точек, лежащих на ней, и вычесть единицу, т. е. вычисляется это таким образом:

где В,Г - количество точек, расположенных внутри и на всей ломаной линии соответственно.

Если вы планируете сделать ремонт самостоятельно, то у вас возникнет необходимость составить смету по строительным и отделочным материалам. Для этого вам понадобится рассчитать площадь помещения, в котором вы планируете произвести ремонтные работы. Главным помощником в этом выступает специально разработанная формула. Площадь помещения, а именно ее расчет, позволит вам сэкономить немалые деньги на строительных материалах и направить высвободившиеся денежные ресурсы в более нужное русло.

Геометрическая форма комнаты

Формула расчета площади помещения напрямую зависит от ее формы. Наиболее типичными для отечественных сооружений являются прямоугольные и квадратные комнаты. Однако в ходе перепланировки стандартная форма может искажаться. Комнаты бывают:

  • Прямоугольные.
  • Квадратные.
  • Сложной конфигурации (например, круглые).
  • С нишами и выступами.

Каждая из них имеет свои особенности расчета, но, как правило, используется одна и та же формула. Площадь помещения любой формы и размера, так или иначе, поддается вычислению.

Помещение прямоугольной или квадратной формы

Чтобы рассчитать площадь комнаты прямоугольной или квадратной формы, достаточно вспомнить школьные уроки геометрии. Поэтому для вас не должно составить особого труда определить площадь помещения. Формула расчета имеет вид:

S комнаты=A*B, где

А - длина помещения.

В - ширина помещения.

Для измерения этих величин вам понадобится обычная рулетка. Чтобы получить наиболее точные расчёты, стоит измерить стену с обеих сторон. Если значения не сходятся, возьмите за основу среднее значение получившихся данных. Но помните, что любые расчёты имеют свои погрешности, поэтому материал стоит закупать с запасом.

Помещение со сложной конфигурацией

Если ваша комната не попадает под определение «типичной», т.е. имеет форму круга, треугольника, многоугольника, то, возможно, для расчетов вам понадобится другая формула. Площадь помещения с такой характеристикой можно попробовать условно разделить на прямоугольные элементы и произвести расчеты стандартным путем. Если такой возможности у вас нет, тогда воспользуйтесь следующими методиками:

  • Формула нахождения площади круга:

S комн.=π*R 2 , где

R - радиус помещения.

  • Формула нахождения площади треугольника:

S комн.= √ (P(P - A) х (Р - В) х (Р - С)), где

Р - полупериметр треугольника.

А, В, С - длины его сторон.

Отсюда Р=А+В+С/2

Если в процессе расчета у вас возникли затруднения, то лучше не мучать себя и обратиться к профессионалам.

Площадь помещения с выступами и нишами

Зачастую стены украшают декоративными элементами в форме всевозможных ниш или выступов. Также их наличие может быть обусловлено необходимостью скрыть некоторые неэстетичные элементы вашей комнаты. Наличие выступов или ниш на вашей стене означает, что расчет следует проводить поэтапно. Т.е. сначала находится площадь ровного участка стены, а затем к нему прибавляется площадь ниши или выступа.

Площадь стены находится по формуле:

S стен = Р х С, где

Р - периметр

С - высота

Также нужно учитывать наличие окон и дверей. Их площадь необходимо отнять от получившегося значения.

Комната с многоуровневым потолком

Многоуровневый потолок не так сильно усложняет расчеты, как это кажется на первый взгляд. Если он имеет простую конструкцию, то можно произвести расчеты по принципу нахождения площади стен, осложненных нишами и выступами.

Однако если конструкция вашего потолка имеет дуго- и волнообразные элементы, то целесообразнее определить его площадь с помощью площади пола. Для этого необходимо:

  1. Найти размеры всех прямых участков стен.
  2. Найти площадь пола.
  3. Перемножить длину и высоту вертикальных участков.
  4. Суммировать получившееся значение с площадью пола.

Пошаговая инструкция по определению общей

площади помещения

  1. Освободите помещение от ненужных вещей. В процессе замеров вам понадобится свободный доступ ко всем участкам вашей комнаты, поэтому нужно избавиться от всего, что может этому препятствовать.
  2. Визуально разделите комнату на участки правильной и неправильной формы. Если ваше помещение имеет строго квадратную или прямоугольную форму, то этот этап можно пропустить.
  3. Сделайте произвольную схему помещения. Этот чертеж нужен для того, чтобы все данные были у вас всегда под рукой. Также он не даст вам возможности запутаться в многочисленных замерах.
  4. Замеры необходимо производить несколько раз. Это важное правило для исключения ошибок в подсчетах. Также если вы используете убедитесь, что луч лежит ровно на поверхности стены.
  5. Найдите общую площадь помещения. Формула общей площади помещения заключается в нахождении суммы всех площадей отдельных участков комнаты. Т.е. S общ.= S стен+S пола+S потолка

В геометрии площадь фигуры является одной из основных численных характеристик плоского тела. Что такое площадь, как ее определять у различных фигур, а также какие свойства она имеет - все эти вопросы мы рассмотрим в данной статье.

Что такое площадь: определение

Площадь фигуры - это число единичных квадратов в этой фигуре; неформально выражаясь, это размер фигуры. Чаще всего, площадь фигуры обозначается как «S». Её можно измерить с помощью палетки или прибора планиметр. Также площадь фигуры можно вычислить, зная основные ее размеры. Например, площадь треугольника можно вычислить по трем различным формулам:

Площадь прямоугольника равна произведению его ширины на длину, а площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число π=3,14.

Свойства площади фигуры

  • площадь равна у равных фигур;
  • площадь всегда неотрицательна;
  • единицей измерения площади является площадь квадрата со стороной, равной 1 единице длины;
  • если фигура разделена на две части, то общая площадь фигуры равна сумме площадей составляющих ее частей;
  • фигуры, равные по площади, называются равновеликими;
  • если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не может превосходить площади второй.

"Площадь. Формула площади прямоугольника". 5-й класс

Цели

  • Научить грамотно читать и записывать формулы.
  • Развивать навыки вычисления и применять их в жизненных ситуациях.
  • Воспитывать любовь к математике.

Задачи

  • С помощью формул формировать навык вычисления площади прямоугольника, квадрата, площадь сложной фигуры, используя правила.
  • Раскрыть удобство и простоту применения формул для вычисления площади.
  • Выявление взаимосвязи математики с повседневной жизнью.

Тип урока: изучение новых знаний

Вид урока: традиционный

Оборудование:

  • плакаты,
  • индивидуальные карточки,
  • учебники.

Ход урока

I. Вводно-мотивационный момент

Здравствуйте, ребята, садитесь! Я очень рада вас видеть и хочу, чтобы наш урок был познавательным и интересным.

Тетради с домашней работой я, как всегда собрала, а другие – лежат у вас на столах.

II. Подготовка учащихся к усвоению новых знаний

1. Введение в тему.

Ребята, вы уже умеете вычислять площадь прямоугольника, а цель этого урока – изучить формулу площади прямоугольника, квадрата, и некоторых других сложных фигур. Понятие, которое мы изучили на прошлом уроке – это формула.

Кто мне даст определение формулы?

Ответ: Формула – это запись какого-нибудь правила с помощью букв.

Приведите примеры формул.

Сегодня мы поговорим о формуле площади.

Запишите в тетради тему урока:

ПЛОЩАДЬ. ФОРМУЛА ПЛОЩАДИ ПРЯМОУГОЛЬНИКА.

III. Изучение новых знаний

1. Объяснение нового материала.

Много вокруг нас таких вещей, площади которых нам тоже нужно иногда измерять. Например, при оклеивании комнат обоями нужно знать площадь стен, чтобы правильно вычислить количество рулонов обоев.

А для измерения площади используют единичные квадраты.

Единичным называют квадрат, длина стороны которого равна выбранной единицы длины. Название площади единичного квадрата получится, если к названию выбранной единицы добавить прилагательное “квадратный”. Пример запишем в тетради.

1 квадратный сантиметр – это площадь квадрата со стороной 1см.

Скажите, что такое
1 кв. м,
1 кв. мм,
1 кв.км?

Обычно единицы площади записывают сокращённо. Например:

1 кв.м = 1м2, 1 кв.км = 1 км2.

Сформулируем теперь, что, значит, измерить площадь фигуры. Для этого нужно выбрать единичный квадрат.

Измерить площадь фигуры, – это значит, найти число, показывающее, сколько единичных квадратов содержится в данной фигуре.

Проще всего измерить площадь прямоугольника. Вам приходилось это делать много раз. А сейчас мы посмотрим, как получается удобная формула для вычисления площади прямоугольника.

Рассмотрим прямоугольник, со сторонами a и b единиц длины. Видно, что такой прямоугольник разбивается на единичные квадраты-клетки. Общее число единичных квадратов получим, если, ахb. Обозначим S – площадь нашего прямоугольника и запишем найденную формулу в тетрадь.

S = aхb.

Если прямоугольник является квадратом со стороной a,то a=b и формула для площади квадрата имеет вид

S = a2

Сформулируем 2 правила:

1. Две фигуры называются равными, если одну из них можно так наложить на вторую, что эти фигуры совпадут.

2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

Эти два важных правила запишем в тетрадь и, будем применять при решении задач.

2. Первичное закрепление нового материала.

1).Решение задач по учебнику.

Откроем учебник на стр. 152 и решим №690. К доске выйдет …

Какие из флажков равны?

Ответ: А и Е; В и F; С, D и К.

Каким правилом мы воспользовались? (Первым).

№ 692 (решает ученик с места).

Равны ли выкройка и вырезанный по ней кусок материи?

Ответ: да, потому что выкройка и вырезанный по ней кусок материи совпадают при наложении.

№ 693. У доски решает…

Найдите равные фигуры. Сколько клеточек содержит каждая фигура?

Ответ: М и Р; А и С.

М-7 клеток, Р-7 клеток, R-7 клеток.
А-8 клеток, В-8 клеток, С-8 клеток.

№ 696. У доски решает …, а все остальные записывают ответ в тетрадь.

Найдите площадь каждой фигуры, если условится, что длина стороны каждой клетки равна 1 см.

Ответ:

SA = 14 ед. кв. = 14 см2.
SB = 8 ед. кв. = 8 см
2.
SC = 10 ед. кв. = 10 см
2.

2). Весёлые задачи.

“Царская задача”

А теперь послушайте интересную задачу.

В некотором царстве, в некотором государстве была такая единица длины – бумбас. Двор вокруг царского дворца имел форму прямоугольника со сторонами 50 и 80 бумбасов.

1) Найдите площадь двора в квадратных бумбасах.

1 ученик у доски:

Sдвора = 50 х 80 = 4000 кв. бумбасов.

А сам дворец стоял в углу двора, занимая квадрат со стороной 20 бумбасов.

2) Найдите площадь дворца.

2 ученик у доски:

Sдворца = 20

2 = 400 кв. бумбасов.

Царь решил выложить весь двор снаружи коврами, имевшими форму прямоугольника со сторонами 2 и 3 бумбаса.

3) Сколько потребовалось для этого ковров?

3 ученик у доски:

Sдвора – Sдвора = 4000 – 400 = 3600 кв. бумбасов
Sковра = 2

х 3 = 6 кв. бумбасов.
3600 : 6 = 600 ковров.

3).Математика вокруг нас.

Теперь решим задачу попроще.

Смекалкин дал младшему брату линейку 20 см и предложил измерить площадь развернутой газеты “Пятерочка”. Брат удивился: “Как же измерять, если газета большая, а линейка маленькая?”.

Как вы думаете, что Смекалкин посоветовал?

Ответ: Согнуть газету в 4 раза. Измерить площадь. Умножить результат на 4.

4). “Голова Буратино”.

И еще одну интересную задачу мы с вами решим.

Внимательно рассмотрите фигуру и скажите, какую площадь имеет голова Буратино? (см. рис. 1)

Ответ: При внимательном рассмотрении можно заметить, что при передвижении некоторых геометрических фигур (см. рис.2) получается квадрат со стороной 6 клеток(см.рис.3).Следовательно, S=62, S=36

3. Вторичное закрепление. Самостоятельная работа. Тест

Ответьте на вопросы теста, которые у вас лежат на столах. (См. Приложение). В углу подпишите карандашом фамилию и обведите нужный ответ. Тест рассчитан на 5 мин.

Сдайте работы. Проверим правильность ответов, сравнив их с ответами на крыле доски.

4.Итоговая беседа.

Давайте проверим, как вы усвоили новый материал. Ответьте на следующие вопросы:

  1. Напишите формулу площади прямоугольника.
  2. Какие измерения надо провести, чтобы получить площадь прямоугольника.
  3. Какие фигуры называются равными?
  4. Могут ли равные фигуры иметь различные площади? А периметры?
  5. Как найти площадь всей фигуры, зная площади всех ее частей?
  6. Напишите формулу площади квадрата.

Ученики отвечают с места или выходят к доске.

IV. Итог урока

Наш урок подошёл к концу.
Сегодня мы с вами изучали тему: “Площадь. Формула площади прямоугольника”.
Вы все молодцы, хорошо поработали на уроке! Спасибо.
Хотелось бы отметить хорошую работу на уроке учащихся...
А оценки за тест вы узнаете на следующем уроке.

V. Домашнее задание

№ 691,700,751.

Приложение 1

Площадь треугольников

Есть несколько способов найти площадь треугольника.

q8zqh4VR6KY

Зная базу и высоту

Когда мы знаем основание и высоту, это легко.

Это просто , половина b умноженная на h

Площадь = 1 2 bh

(Более подробная информация на странице «Треугольники»)

Самое главное, чтобы основание и высота были под прямым углом.Поиграйте здесь:

Пример: Какова площадь этого треугольника?


(Примечание: 12 - это высота , а не длина левой стороны)

Высота = h = 12

База = b = 20

Площадь = ½ bh = ½ × 20 × 12 = 120

627 723, 3132, 3133

Знание трех сторон

Существует также формула для определения площади любого треугольника, когда мы знаем длины всех трех его сторон.

Его можно найти на странице формул Герона.

Зная две стороны и угол наклона

Когда мы знаем две стороны и включенный угол (SAS), мы можем использовать другую формулу (фактически, три эквивалентные формулы).

В зависимости от того, какие стороны и углы нам известны, формулу можно записать тремя способами:

Площадь = 1 2 ab sin C

Площадь = 1 2 до н.э. sin A

Площадь = 1 2 ca sin B

Это действительно та же формула, только с измененными сторонами и углом.

Пример: Найдите площадь этого треугольника:

Прежде всего мы должны решить, что мы знаем.

Нам известен угол C = 25º, а стороны a = 7 и b = 10.

Итак, приступим:

Площадь = (½) ab sin C

Введите известные нам значения: ½ × 7 × 10 × sin (25º)

Сделайте некоторую работу с калькулятором: 35 × 0,4226 ...

Площадь = 14.8 с точностью до одного десятичного знака

Как помнить

Подумайте только о «abc»: Площадь = ½ a b sin C

Также хорошо помнить, что угол всегда составляет между двумя известными сторонами , что называется «включенным углом».

Как это работает?

Начнем с этой формулы:

Площадь = ½ × основание × высота

Мы знаем, что база c , и можем разработать высоту:


высота b × sin A

Получаем:

Площадь = ½ × (c) × (b × sin A)

Что можно упростить до:

Площадь = 1 2 до н.э. sin A

Изменив метки на треугольнике, мы также можем получить:

  • Площадь = ½ ab sin C
  • Площадь = ½ ca sin B

Еще один пример:

Пример: Найдите сколько земли

Фермер Ригби владеет треугольным участком земли.

Длина забора АВ составляет 150 м. Длина забора БЦ 231 м.

Угол между ограждением AB и ограждением BC составляет 123 °.

Сколько земли принадлежит фермеру Ригби?

Прежде всего мы должны решить, какие длины и углы нам известны:

  • AB = c = 150 м,
  • BC = a = 231 м,
  • и угол B = 123º

Итак, мы используем:

Площадь = 1 2 ca sin B

Введите известные нам значения: ½ × 150 × 231 × sin (123º) м 2

Сделайте некоторую работу с калькулятором: 17,325 × 0.838 ... м 2

Площадь = 14 530 м 2

Фермер Ригби имеет 14530 м 2 земли

259, 1520, 1521, 1522, 260, 1523, 2344, 2345, 3940, 3941

Правило площади | Тригонометрия

Правила площади, синуса и косинуса

Существуют три тождества, относящиеся к тригонометрическим функциям, которые упрощают работу с треугольниками:

  1. правило площади

  2. правило синуса

  3. правило косинуса

Правило площади

Дополнительное исследование: Правило площади

  1. Рассмотрим \ (\ треугольник ABC \):

    Выполните следующее:

    1. Площадь \ (\ треугольник ABC \) = \ ( \ cfrac {1} {2} \ times \ ldots \ times AC \)

    2. \ (\ sin \ hat {B} = \ ldots \) ​​и \ (AC = \ ldots \ times \ ldots \) ​​

    3. Следовательно, площадь \ (\ треугольник ABC \) = \ (\ ldots \ times \ ldots \ times \ ldots \ times \ ldots \) ​​

  2. Рассмотрим \ (\ треугольник A'B'C '\):

    Заполните следующее:

    1. Чем \ (\ треугольник A'B'C '\) отличается от \ (\ треугольник A ДО Н.Э\)?

    2. Вычислить площадь \ (\ треугольник A’B’C ’\).

  3. Используйте свои результаты, чтобы написать общую формулу для определения площади \ (\ треугольника PQR \):

Для любого \ (\ треугольника ABC \) с \ (AB = c, BC = a \) и \ (AC = b \), мы можем построить перпендикулярную высоту (\ (h \)) от вершины \ (A \) к прямой \ (BC \):

In \ (\ треугольник ABC \):

\ begin {align *} \ sin \ hat {B} & = \ cfrac {h} {c} \\ \ поэтому h & = c \ sin \ hat {B} \ end {align * }

И мы знаем, что

\ begin {align *} \ text {Area} \ треугольник ABC & = \ cfrac {1} {2} \ times a \ times h \\ & = \ cfrac {1} {2 } \ times a \ times c \ sin \ hat {B} \\ \ поэтому \ text {Area} \ треугольник ABC & = \ cfrac {1} {2} ac \ sin \ hat {B} \ end {align *}

В качестве альтернативы мы могли бы написать, что

\ begin {align *} \ sin \ hat {C} & = \ cfrac {h} {b} \\ \, следовательно, h & = b \ sin \ hat {C} \ end {align *}

И тогда у нас будет

\ begin {align *} \ text {Area} \ треугольник ABC & = \ cfrac {1} {2} \ time sa \ times h \\ & = \ cfrac {1} {2} ab \ sin \ hat {C} \ end {align *}

Аналогично, построив перпендикулярную высоту от вершины \ (B \) до линии \ (AC \), мы также можем показать, что площадь \ (\ треугольник ABC = \ cfrac {1} {2} bc \ sin \ hat {A} \).

Правило площади

В любом \ (\ треугольнике ABC \):

\ begin {align *} \ text {Area} \ треугольник ABC & = \ cfrac {1} {2} bc \ sin \ hat {A} \\ & = \ cfrac {1} {2} ac \ sin \ hat {B} \\ & = \ cfrac {1} {2} ab \ sin \ hat {C} \ end {align *}

Пример

Вопрос

Найдите площадь \ (\ треугольника ABC \) (с точностью до двух десятичных знаков):

Используйте данную информацию для определения неизвестных углов и сторон

\ [\ begin {array} { rll} AB = AC & = 7 & (\ text {given}) \\ \ поэтому \ hat {B} = \ hat {C} & = \ text {50} \ text {°} & (\ angle \ text { s напротивравные стороны}) \\ \ text {And} \ hat {A} & = \ text {180} \ text {°} - \ text {50} \ text {°} - \ text {50} \ text {°} & (\ angle \ text {s сумма} \ треугольник ABC) \\ \ поэтому \ hat {A} & = \ text {80} \ text {°} & \ end {array} \]

Используйте правило площади для вычисления площади \ (\ треугольника ABC \)

Обратите внимание, что мы не знаем длину стороны \ (a \) и поэтому должны выбрать форму правила площади, которая не включает эту сторону треугольника.

В \ (\ треугольник ABC \):

\ [\ begin {array} {rll} \ text {Area} & = \ cfrac {1} {2} bc \ sin \ hat {A} & \\ & = \ cfrac {1} {2} (7) (7) \ sin \ text {80} \ text {°} & \\ & = \ text {24.13} & \ end {array} \]

Напишите окончательный ответ

Площадь \ (\ треугольник ABC = \ text {24.13} \) квадратных единиц.

Пример

Вопрос

Покажите, что площадь \ (\ треугольник DEF = \ cfrac {1} {2} df \ sin \ hat {E} \).

Постройте перпендикулярную высоту \ (h \)

Нарисуйте \ (DH \) так, чтобы \ (DH \ perp EF \), и пусть \ (DH = h \), \ (D \ hat {E} F = \ hat {E} _1 \) и \ (D \ hat {E} H = \ hat {E} _2 \).

В \ (\ треугольник DHE \):

\ [\ begin {array} {rll} \ sin \ hat {E} _2 & = \ dfrac {h} {f} & \\ h & = f \ sin (\ text {180} \ text {°} - \ hat {E} _1) & (\ angle \ text {s на ул.line}) \\ & = f \ sin \ hat {E} _1 & \ end {array} \]

Используйте правило площади для вычисления площади \ (\ треугольник DEF \)

In \ (\ треугольник DEF \):

\ begin {align *} \ text {Area} & = \ cfrac {1} {2} d \ times h \\ & = \ cfrac {1} {2} df \ sin \ hat {E} _1 \ end {align *}

Правило площади

В любом \ (\ треугольнике PQR \):

Правило площади утверждает, что площадь любого треугольника равна половине произведения длин две стороны треугольника, умноженные на синус угла между двумя сторонами.

Сводка тригонометрических формул

Сводка тригонометрических формул

Эти формулы относятся к длине и площади определенных кругов или треугольников. На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

Формулы дуг и секторов окружностей

Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r , умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.
Формулы для прямоугольных треугольников

Наиболее важные формулы для тригонометрии - формулы для прямоугольного треугольника.Если θ - один из острых углов в треугольнике, то синус тета - это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус - это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс - это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

  • Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
  • Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.
Формулы наклонных треугольников

Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой.Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , . b и c .

Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники.В нем говорится, что c 2 , квадрат одной стороны треугольника, равен a 2 + b 2 , сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоить их произведение, умноженное на косинус противоположного угла. Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора.

Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым для всех трех углов.

С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

  • Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
  • Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
  • Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.
Формулы площади для треугольников

Есть три разные полезные формулы для вычисления площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

Половина основания, умноженная на высоту. Это обычный вариант, поскольку он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону для вызова базы b . Тогда, если h - это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь составляет половину bh .
Формула Герона. Это полезно, когда вы знаете три стороны треугольника: a , b и c и все, что вам нужно знать, - это площадь. Пусть s будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s - a , s - b и s - c .
Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, когда вам известны две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

Площадь треугольника | Блестящая вики по математике и науке

Площадь треугольника с учетом координат его вершин равна по модулю

.

12det⁡∣x1y11x2y21x3y31∣. \ Frac 12 \ det \ begin {vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \ end {vmatrix}.21 det∣∣∣∣∣∣ x1 x2 x3 y1 y2 y3 111 ∣∣∣∣∣∣.

(Знак положительный, если точки указаны по часовой стрелке, и отрицательный, если они расположены против часовой стрелки.)

При расширении получаем 12∣x1y2 − x3y2 + x3y1 − x1y3 + x2y3 − x2y1∣. \ Frac {1} {2} | x_1y_2-x_3y_2 + x_3y_1-x_1y_3 + x_2y_3-x_2y_1 | .21 ∣x1 y2 −x3 y2 + x3 y1 −x1 y3 + x2 y3 −x2 y1 ∣.

Если треугольник трехмерный, то площадь становится

.

12 (det⁡∣x1y11x2y21x3y31∣) 2+ (det⁡∣x1z11x2z21x3z31∣) 2+ (det⁡∣z1y11z2y21z3y31∣) 2.2} .21 ⎝⎛ det∣∣∣∣∣∣ x1 x2 x3 y1 y2 y3 111 ∣∣∣∣∣∣ ⎠⎞ 2 + ⎝⎛ det∣∣ ∣∣∣∣ x1 x2 x3 z1 z2 z3 111 ∣∣∣∣∣∣ ⎠⎞ 2 + ⎝⎛ det∣∣∣∣∣∣ z1 z2 z3 У1 у2 у3 111 ∣∣∣∣∣∣ ⎠⎞ 2.

Или это просто абсолютное значение

12det⁡∣x1y1z1x2y2z2x3y3z3∣. □ \ frac 12 \ det \ begin {vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \ end {vmatrix}. \ _ \ Square21 det∣∣∣∣∣∣ x1 X2 x3 y1 y2 y3 z1 z2 z3 ∣∣∣∣∣∣. □

Координаты вершин треугольника равны A = (1,7), B = (4,5), C = (10,12) A = (1,7), B = (4,5). , C = (10,12) A = (1,7), B = (4,5), C = (10,12).Найдите площадь треугольника ABCABCABC.


У нас

(Площадь) = 12∣17145110121∣ = 12 [(1⋅5 + 4⋅12 + 10⋅7) - (4⋅7 + 5⋅10 + 12⋅1)] = 1612. □ \ begin {align} (\ text {Area}) & = & \ frac12 \ begin {vmatrix} 1 & 7 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \\ 10 & 12 & 1 \ end {vmatrix} \\ & = & \ frac12 \ big [(1 \ cdot5 + 4 \ cdot12 + 10 \ cdot7) - (4 \ cdot7 + 5 \ cdot10 + 12 \ cdot1) \ big] \\ & = & 16 \ tfrac12. \ _ \ квадрат \ конец {выровнен} (Площадь) === 21 ∣∣∣∣∣∣ 1410 7512 111 ∣∣∣∣∣∣ 21 [(1⋅5 + 4⋅12 + 10⋅ 7) - (4⋅7 + 5⋅10 + 12⋅1)] 1621.2-1y = x2−1 и раскрываясь, получаем 12∣ (x − 2) (5x + 13) ∣. \ Frac {1} {2} \ big | (x-2) (5x + 13) \ big | .21 ∣∣ (x − 2) (5x + 13) ∣∣.

Используя −b2a \ frac {-b} {2a} 2a − b, максимум достигается при x = −310x = - \ frac {3} {10} x = −103.

Однако, поскольку это уравнение абсолютного значения и оба корня находятся между −3-3−3 и 333, мы должны проверить, какое значение x = −3,3, −310x = {- 3,3, - \ frac {3} {10}} x = −3,3, −103 максимизирует функцию. Таким образом, после небольшого затыкания и пыхтения мы обнаруживаем, что x = 310x = \ frac {3} {10} x = 103 дает наибольшее значение для площади треугольника ABC, ABC, ABC, которое составляет 52940.\ frac {529} {40} .40529. □ _ \ квадрат □

Для этого есть несколько элегантных доказательств, использующих векторные перекрестные произведения, определители и исчисление. Однако, поскольку это вики по геометрии, я опубликую простейшее геометрическое доказательство. К сожалению, даже несмотря на то, что это самый простой, он также и самый уродливый.

Для простоты обозначим x1 = a, x2 = b, x3 = c, y1 = d, y2 = e, y3 = fx_1 = a, ~ x_2 = b, ~ x_3 = c, ~ y_1 = d, ~ y_2 = е, ~ y_3 = fx1 = a, x2 = b, x3 = c, y1 = d, y2 = e, y3 = f.

Таким образом, мы имеем координаты (a, d), (b, e), (c, f) (a, d), (b, e), (c, f) (a, d), (b, e ), (в, е).2} = | x | .x2 = ∣x∣. Таким образом, после извлечения квадратного корня с обеих сторон получаем

∣T∣ = 12∣ (a − c) (e − d) - (a − b) (f − d) ∣. □ | T | = \ frac {1} {2} \ big | (a-c) (e-d) - (a-b) (f-d) \ big |. \ _ \ square∣T∣ = 21 ∣∣ (a − c) (e − d) - (a − b) (f − d) ∣∣. □

Калькулятор площади треугольника

Этот калькулятор площади треугольника может помочь в определении площади треугольника. В основной формуле площади треугольника должны быть указаны основание и высота, но что, если у нас их нет? Как мы можем рассчитать площадь треугольника только с 3 сторонами? Калькулятор площади треугольника здесь для вас, попробуйте! Если вы все еще не знаете, как найти площадь треугольника, ознакомьтесь с описанием ниже.

Формула площади треугольника

Треугольник - одна из самых основных геометрических фигур. Самая известная и простая формула, которую почти все помнят со школы:

  • area = 0,5 * b * h , где b - длина основания треугольника, а h - высота / высота треугольника.

Однако иногда бывает сложно найти высоту треугольника. В этих случаях могут использоваться многие другие уравнения, в зависимости от того, что известно о треугольнике:

  • Трехсторонний (SSS)

    Если вам известны длины всех сторон, воспользуйтесь формулой Герона:

    площадь = 0.25 * √ ((a + b + c) * (-a + b + c) * (a - b + c) * (a + b - c))

  • Две стороны и угол между ними (SAS)

    Вы можете легко вычислить площадь треугольника по тригонометрии:

    площадь = 0,5 * a * b * sin (γ)

  • Два уголка и грань между ними (ASA)

    Существуют разные версии формул площади треугольника - вы можете использовать, например, тригонометрию или закон синусов, чтобы получить ее:

    площадь = = a² * sin (β) * sin (γ) / (2 * sin (β + γ))

Если вы ищете другие формулы или калькуляторы, связанные с треугольником, ознакомьтесь с этим калькулятором прямоугольного треугольника, калькулятором теорем Пифагора и калькулятором закона косинусов.

Как найти площадь треугольника?

Предположим, что нам известны две стороны и угол между ними:

  1. Введите длину первой стороны . В нашем примере это может быть 9 дюймов
  2. Введите вторую сторону треугольника . Выберем 5 дюймов
  3. Определите угол между двумя известными сторонами . Например, 30 градусов.
  4. Посмотрите, как наш калькулятор площади треугольника выполняет все вычисления за вас! Площадь для нашего случая равна 11.25 кв. Дюймов.

Площадь равностороннего треугольника

Чтобы вычислить площадь равностороннего треугольника, вам нужна только сторона:

площадь = a² * √3 / 4

Хотя мы не делали отдельный калькулятор для площади равностороннего треугольника, вы можете быстро вычислить его в этом калькуляторе площади треугольника. Просто используйте подчасть для площади треугольника с 3 сторонами - как вы знаете, каждая сторона имеет одинаковую длину в равностороннем треугольнике.Эту площадь можно вычислить также в версии угол-сторона-угол или стороны-угол-сторона - вероятно, вы помните, что каждый угол в равностороннем треугольнике равен 60 градусам (π / 3 рад).

Хотите больше?

Для определения площади различной формы обратитесь к другим классным калькуляторам:

тригонометрия - Найдите приблизительную площадь, используя тригонометрию по правилу Симпсона

- Найдите приблизительную площадь, используя правило Симпсона - Mathematics Stack Exchange
Сеть обмена стеком

Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Подписаться

Mathematics Stack Exchange - это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 2k раз

$ \ begingroup $

Найдите приблизительную площадь заштрихованной фигуры, показанной с помощью правила Симпсона.\ circ $ и $ 10 $ и делением на $ 6 $ получаем интервал $ \ frac {10 \ sqrt {3}} {6} $

.

Создан 01 янв.

Микки Микки

1122 серебряных знака 1212 бронзовых знаков

$ \ endgroup $ $ \ begingroup $

Всего 7 баллов (обычно нам нужно нечетное количество баллов для правила Симпсона).{\ circ} $$

Числовой ответ: 76.980035892.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Начните вводить, то что вы ищите выше и нажмите кнопку Enter для поиска. Нажмите кнопку ESC для отмены.

Вернуться наверх