Пропорция в архитектуре: ОТНОШЕНИЯ И ПРОПОРЦИИ – ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ | Архитектура и Проектирование

Содержание

Пропорции и масштаб зданий и сооружений эпохи Возрождения

Пропорции в архитектуре

Определение 1

Пропорция в архитектуре – это соотношение подобных отрезков или фигур, составляющих архитектурный объект и придающих ему гармоничность и целостность. Архитектурная пропорция может определяться как конструктивными требованиями, так и архитектурно-художественным замыслом.

Такие архитекторы периода Возрождения, как Палладио и Виньола сформулировали методы пропорций, исходящие от античных архитектурных примеров и от опыта нескольких поколений зодчих. Из их сочинений следует, что основой архитектурной композиции Ренессанса является закон простых соотношений.

Независимо от модульных соотношений архитекторы Возрождения применили арифметическое соотношение, нередко весьма сложное. Так, Палладио, как и Витрувий, рекомендует определять высоту помещения путем выведения средней пропорциональной из его сторон. Важнейшую роль здесь играет деление в среднем и крайнем отношении. Из записей Геймюллера следует, что если соединить пролеты фасада дворца Канчеллариа, то положение разделяющего из пилястра, будет отвечать данному делению.

Рисунок 1. Дворец Канчеллариа. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Помимо этого, по примеру средневековых зодчих, архитекторы Ренессанса применяют те графические методы, которые вносят в конструкцию порядок, а также устанавливают между основными конструктивными элементами геометрическую связь. Надо сказать, что архитектура Возрождения ни в какой момент не руководствовалась голым чутьем при определении пропорций, но одновременно прибегала к помощи числовых отношений и геометрических построений.

Вероятно, архитекторы Ренессанса слепо не доверяли ни одному из вышеописанных методов. Применение деревянных макетов, которое наблюдалось в эпоху от Брунеллески до Микеланджело, по-видимому, сделало обязательным корректировку теоретических данных на основании впечатлений от рельефа модели.

Готовые работы на аналогичную тему

Следует отметить еще одну черту, присущую Раннему Ренессансу и великой греческой античности – симметрию. В каждом архитектурном ансамбле наблюдалось простое равновесие масс. Так, большая площадь в Пиенце была закончена в один прием, а архитектор, имеющий возможность сделать ее план абсолютно симметричным, прибегнул к особому приему – каждое здание ансамбля имело индивидуальный отпечаток и уникальную симметрию.

Что касается концепции масштабности, которая господствовала в средневековой архитектуре, то она чувствуется в тщательности композиции, с которой флорентийские архитекторы выполняли грандиозные фасады своих палаццо. Она вновь повторяется в эпоху Альберти в ордерах, которые ставятся один над другим. Этот прием четко выделяет высоту каждого этажа. Подобная идея господствует до времен Браманте в композициях с небольшими ордерами (например, во дворце Канчеллариа и дворце Жиро).

Замечание 1

Применение в архитектуре колоссального ордера, который стирает разделение здания на этажи, является нарушением данного правила. Данное правило окончательно было забыто только в эпоху Микеланджело, который применял в своих конструкциях огромные пилястры.

Строительные приемы

Если сравнивать сооружения французского и итальянского Ренессанса, то методы строительства тех и других резко отличаются.

Что касается строительных материалов, то наиболее типичной чертой итальянского Возрождения было сочетания камня и кирпича в несущих конструкциях. Кирпич, повсеместно вышедший из употребления в период Средневековья, вновь применяется при первом соприкосновении с Италией.

Рисунок 2. Шарлеваль. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Например, некоторые секции замка Блуа, как и большая часть итальянских палаццо, были построены из кирпича и украшены каменными деталями. В Сен-Жермене же и в Ла Мюэтт стены наоборот, были возведены из бутовой кладки и украшены декоративными деталями из кирпича. Во Франции применялись аналогичные строительные материалы, что и в Италии, но что касается строительных приемов, то здесь сходства уже нет.

Украшения и масштабность объектов

Итальянские архитекторы допускали отступление от канонических пропорций в архитектуре лишь в начале Ренессанса и только в одном случае: при проектировании аркад и колонн. Во Франции данное исключение в определенный момент стало правилом.

Благодаря сношениям с итальянской архитектурой во Франции развивается чувство модульных пропорций, что несомненно влияет на восприятие масштаба здания. Архитекторы здесь постепенно отказываются от соответствия между линиями антаблемента и элементами конструкций. Интересно, что привычка применять карнизы, как и подоконники, остается.

Предшествующее готическое искусство не допускало повторяющихся капителей, поэтому архитекторы французского Возрождения старались дополнить капители скульптурными деталями.

На протяжении всего периода Раннего Ренессанса каждый уровень здания обрабатывался своим ордером. В качестве редкого исключения могли быть отмечены выступы и Экуана и ворота замка Тур Дэг. Первые сооружения, масштабность которых была подчеркнута пилястрами, проложенными во всю высоту здания, появились только во второй половине XVI века.

Нередко вместо пилястр во французском Ренессансе использовали рустованные лопатки и всегда перевязывали эти лопатки с кирпичной кадкой штрабами. Данный декоративный прием использовался во всех зданиях времен Людовика XII.

Считается, что впервые выступающие ряды кирпичей или камней были применены Пьером Леско в Лувре. Главные фасады дворцов были сильно акцентированы угловыми блоками на гладком фоне стен и выделялись правильными рядами.

При Карле IX русты были основой мотива обработки фасадов Шарлевиля. Примерно в этот же временной период данный мотив встречался и в замке Пайи. Ширина рядов кладки здесь уменьшалась от основания здания к вершине, что создает иллюзию большого масштаба, напоминающего флорентийские дворцы.

Пропорции в архитектуре. Крюков К.С. 1995 | Библиотека: книги по архитектуре и строительству

В предлагаемой читателю книге проф. К.С. Крюкова раскрываются древние приёмы построения архитектурных форм с установлением их пропорциональности. В основу гармоничных отношений положены соразмерности человеческого тела, отношения сторон, высот и диагоналей или гипотенуз квадрата и полуквадрата, равностороннего и египетского треугольников, построенные на модульной квадратной сетке. Книга рассчитана на специалистов – историков и теоретиков архитектуры, студентов и аспирантов архитектурных и художественных вузов.

Глава I. История вопроса
Труды ученых Средней Азии IX-XVI вв.
Вклад отечественных ученых в разработку метода построения форм и пропорциональности среднеазиатской архитектуры
Теоретические концепции пропорциональности западных исследователей древней архитектуры Египта, Греции, Рима разработанные в XIX-XX вв.

Глава II. Основы пропорциональности
Витрувий о пропорциональности в архитектуре
Мера длины  –  средство для установления соразмерности
Каноны пропорциональности в архитектуре
Египетский прямоугольный треугольник «Осирис, Исида, Гор»
Египетский священный треугольник
Единство основы музыкальной и архитектурной гармонии
Золотая пропорция
Система вписанных друг в друга квадратов
Построение правильных геометрических фигур, совмещенных с модульной сеткой
Стоечно-балочные и арочно-купольные конструктивные системы
Таблица с показателями пропорциональности в численных отношениях

Глава III. Анализ построения форм
Египет
Греция
Рим
Центральная Азия:
 – Архитектура до н.э.
 – Архитектура IX-XII вв.
 – Архитектура XIV-XVI вв.
 – Архитектура XVII-XIX вв.

Заключение
Литература
Список иллюстраций
Сокращения
Summary
List of figures

Предисловие

Наиболее известные памятники древней и средневековой архитектуры  –  будь то пирамиды древнего Египта в Гизе или Афинский акрополь а Греции, римский Колизей или собор святого Петра а Риме, храм святой Софии в Константинополе или собор Нотр Дам в Париже, мавзолей династии саманидов в Бухаре или соборная мечеть Биби-ханым а Самарканде (Центральная Азия),  –  поражают зрителя гармонией и совершенством форм, в основе которых лежат определенные пропорциональные отношения.

Выдающиеся произведения зодчества образно называют музыкой застывшей в камне, что имеет научную основу. Греческому математику Пифагору приписывают установление двух основных законов гармонии в музыке, принятых греками:

1) два звука дают гармоническое созвучие, если отношение их колебаний выражается малыми числами;
2) гармоническое трезвучие получается, если к аккорду из двух консонантных звуков придать звук, число колебаний которого находится в гармонической пропорциональной связи с двумя первыми. «Зодчие классики,  –  пишет Г.Д. Гримм,  –  приняв за основу всякой гармонии, и в том числе гармонии а архитектуре, признанные ими численные отношения консонантных звуков октавы, должны были считать гармоничными все деления целого, отвечающие этим отношением, от примы до октавы». В архитектуре и музыке эти отношения выражались малыми числами: 1:2: 2:3: 3:4; 4:5; 5:7; 5:8; 5:9.

Установить заложенные в памятниках архитектуры пропорциональные отношения не представляет сложности при наличии точных архитектурных чертежей, что и было проделано учеными за прошедший полтора столетия. Значительно сложнее оказалось восстановить древний метод построения архитектурных форм в проекте и способы его реализации. Решению этой проблемы в сочетании с пропорциональными отношениями в архитектуре уделено основное внимание.

В данном исследовании автор излагает последовательное – развитие древних и средневековых приемов установления пропорциональных отношений в зодчестве на основе обширных исследований в этом направлении, разработанных известными теоретиками архитектуры, дополненные собственными анализами.

Занимаясь изучением проблемы пропорций в архитектуре Центральной Азии древности и средневековья, автор обнаружил противоречивые концепции основ пропорциональности. Для выяснения истины пришлось обратиться к первоистокам  –  памятникам архитектуры древнего Египта. Греции, Рима, что привело к установлению общих приемов построения форм и определенных пропорциональных отношений, не зависящих от временных и географических границ. Вместе с тем, выявилась некоторая специфика в выборе пропорциональных отношений архитектуры Египта, Греции, Рима и мусульманского Востока.

В результате анализа сложилась стройная система установления гармонии в архитектуре.

Книга рассчитана на архитекторов и искусствоведов, студентов архитектурных и художественных вузов.

Автор выражает искреннюю благодарность за содействие в публикации книги президенту Союза архитекторов республики Узбекистан, действительному члену Академии архитектуры стран Востока Ф.М. Ашрафи и начальнику Главного управления памятников архитектуры и изобразительного искусства Министерства по делам культуры республики Узбекистан, заслуженному архитектору Б.М. Усманову, а также доктору исторических наук В.Я. Ворониной и члену-корреспонденту Международной Академии архитектуры, доктору архитектуры И.И. Ноткину за полезные советы и критические замечания, учтенные автором при редактировании книги.

Введение

Архитектура  –  одна из важнейших частей созидательной деятельности человечества, произведения которой  –  жилые, культовые, общественные здания и инженерные сооружения,  –  служат удовлетворению жизненно необходимых потребностей и эстетических запросов. Они необходимы как пища, одежда и топливо. Но произведения зодчества должны удовлетворять не только утилитарным запросам. Прекрасное и целесообразное в архитектуре составляют единое целое. Эту проблему решает архитектурная композиция, определяющая взаимодействие художественных средств  –  симметрии и асимметрии, ритма и контраста, масштабности, соразмерности и равновесия.

Объединяющим началом, создающим гармонию в архитектуре, является пропорциональность. «Пропорция,  –  писал Витрувий,  –  есть соответствие между членами г се го произведения и его целым по отношению к части, принятой за исходную, на чем основана всякая соразмерность».

Расшифровать законы гармонии – заветная мечта архитекторов-практиков, теоретиков, историков, искусствоведов. Великий зодчий XX столетия Ле Корбюзье, придавая огромное значение раскрытию законов пропорциональности в архитектуре, писал: «Если бы инструмент для линейных и оптических измерений, подобный музыкальной записи, был найден, то насколько легче стало бы работать в архитектуре!».

Система пропорциональности архитектуры, отработанная тысячелетней практикой, представляет интерес не только при разработке теоретических проблем архитектуры, она необходима архитекторам в их творческом процессе.

Знание древней методики построения форм и пропорциональности даст реставраторам архитектурных памятников дополнительные гарантии в обоснован» проектов и возможность проверки правильности и соответствия восстанавливаемых форм архитектуры.

К середине 50-х годов XX столетия благодаря разработкам западных теоретиков архитектуры XIX-XX вв. (А. Цейзинга, Ф. Гофштадта, С. Пеннеторна, О. Шуази, Виолле Ле-Дюка, Д. Хембиджа, Э. Месселя), а также российских исследователей (К. Афанасьева, Н. Брунова, Г. Гримма, В. Владимирова, Б. Михайлова, И. Шевелева, И. Шмелева, А. Иконникова) были, в основном, раскрыты основы пропорциональности древней архитектуры Египта, Греции, Рима, итальянского Возрождения, древней Руси.

В научной литературе по зодчеству Центральной Азии до конца 40-х годов практически не было трудов, которые объясняли бы, на каких принципах основаны гармоничные отношения. Недостаточная изученность архитектуры Востока ко второй половине XIX в. стала причиной ошибочных суждений о ее пропорциональном строе. Известный теоретик архитектуры Виолле Ле-Дюк по этому поводу писал: «Пропорции архитектуры основаны на законах и геометрических принципах, согласованных с нашими органами зрения, но в арабской архитектуре роль геометрии начинается только в тот момент, когда приступают к ее украшению».

Анализ основ пропорциональности, выполненный учеными Центральной Азии (бывшего СССР) в 40-60-х гг. носил эпизодический характер. К исследованиям пропорциональности и построения архитектурных форм, проведенным на отдельных памятниках архитектуры, относятся публикации Б.Н. Засыпкина, Л.Н. Воронина, Ш.Е. Ратия, В.Л. Ворониной, Л.И. Ремпеля, Г.А. Пугаченковой, Л.Ю. Маньковской, Ю.З. Шваб, И.Е. Плеткова, С.Г. Хмельницкого.

Первые обобщения методов пропорциональности архитектуры Центральной Азии в широком временном диапазоне осуществлены в 70-х годах М.С. Булатовым, В.М. Филимоновым, П.Ш. Захидовым.

Три автора и три самостоятельных теоретических концепции, отрицающих одна другую, не позволили выработать единый метод пропорциональности в архитектуре Центральной Азии. Это положение и явилось основой для продолжения поисков основ построения формы и установления пропорциональных отношений.

Отправной точкой исследования пропорциональности является единственный сохранившийся энциклопедический труд римского архитектора Витрувия (I в. до н.э.), в котором наряду с описанием основ градостроительства, строительной деятельности, правил изготовления военных и гражданских машин, большое внимание уделено описанию правил построения форм и пропорциональности в архитектуре.

Изучение пропорциональности в архитектуре Центральной Азии следует проводить сравнительным анализом с архитектурой Греции. После завоевательных походов Александра Македонского на территории Центральной Азии образовались эллинистические государства  –  Парфия, Маргиана, Бактрия. Сотни лет общения с греческой культурой наложили отпечаток на методы установления пропорциональности, что подтверждают сохранившиеся памятники архитектуры III  –  I-го вв. до н.э.

В процессе изучения теоретической базы построения форм Египта и Греции обнаружилась недостаточная разработанность этой проблемы. Противники теории модульного построения архитектурных форм признавали эту систему устаревшей. Для решения важной архитектурно-строительной проблемы в первой главе «История вопроса» произведен критический разбор основных теоретических концепций пропорциональности, разработанных в XIX – XX вв.

В процессе разработки темы определились основные факторы, влияющие на формирование метода построения форм и пропорциональности в архитектуре вне временных и географических границ. Этот материал сосредоточен во второй главе  –  «Основы пропорциональности в архитектуре».

В третьей главе «Анализ построения форм и пропорциональности» исследуются ряд известных памятников архитектуры древнего Египта Греции и Рима, являющихся основой метода построения форм. Среди анализируемых преобладают объекты зодчества Центральной Азии, где еще не сложилась теоретическая концепция построения архитектурной композиции. В этой же главе рассматриваются проблемы реставрации архитектурных памятников. Для нахождения утраченных форм необходимо общее восстановление композиционного строя памятников зодчества, но это возможно осуществить, восстановив их пропорциональный строй.

Цель исследования, представляемого на суд читателей, – восполнить пробел, образовавшийся в теории построения архитектурных форм.

Накопившийся за последнее десятилетие обширный фактический материал о памятниках архитектуры, точные архитектурно-археологические исследования и публикации на эту тему дают основания надеяться на благополучное решение актуальнейшей проблемы  –  построения формы с применением правил пропорциональности в архитектуре.

Математика архитектурной гармонии пропорция Текст научной статьи по специальности «Искусствоведение»

МАТЕМАТИКА АРХИТЕКТУРНОЙ ГАРМОНИИ – ПРОПОРЦИЯ.

Козодаева Надежда Владимировна, ТГУ им. Г.Р. Державина, кафедра дизайна и декоративно-прикладного искусства, ассистент

Аннотация. Данная статья посвящена историческому обзору теорий красоты и гармонии в архитектуре, теории целочисленных и иррациональных отношений. Оценивается значение «Десяти книг» Витрувия для культуры зодчества.

Ключевые слова: Архитектурные пропорции, гармония, модуль, золотая пропорция, культура.

«Пожалуй, самым трудным и вместе с тем обязательным в архитектурном

творчестве является простота. Простота форм обязывает придавать прекрасные пропорции и соотношения, которые сообщили бы им необходимую гармонию».

А.В.Щусев

В высказываниях многих архитекторов о пропорциях часто встречаются слова «внутренняя красота», «простота», «всеобщность». Архитектурные пропорции – это математика зодчего, в свою очередь математика – это универсальный язык науки, следовательно, пропорции – это универсальный всеобъемлющий и всесильный язык архитектуры.

Гармония в природе и гармония в архитектуре – две стороны единого процесса созидания. Советский зодчий и теоретик И.В.Жолтовский (1867-1959) считал творчество архитектора частью творчества природы. Он называет архитектора «дитём природы», а архитектурные формы должны члениться, следовать одна за другой, вырастать друг из друга, как ветви древесного ствола. Впрочем, ту же мысль на 500 лет ранее высказывал и Альберти: «Здание есть как бы живое существо, создавая которое следует подражать природе»[1].

Гармонию в природе естествоиспытатели видят в целесообразном и совершенном устройстве мироздания, выраженных в «красивых» математических уравнениях и принципах симметрии. Жолтовский считал, что гармония в природе и гармония в архитектуре обретают одинаковое математическое выражение в законе золотого сечения [1].

Зодчие всех времен, различных культур и архитектурных направлений говорили на языке пропорций: древние египтяне и древние греки, средневековые каменотесы и древнерусские плотники, представители барокко и классицизма, конструктивисты и рационалисты, апологеты эклектизма и функционализма, поклонники «модерна» и «хай-тека». Хотя на сегодняшний день современные зодчие пытаются напрочь исключить пропорции из своего архитектурного арсенала, сделав своим кумиром «геометрию беспорядка». На огромном опыте культурного наследия человечества можно сделать вывод, что пропорциональность является наиболее ярким, зримым, объективным и математически закономерным выражением архитектурной гармонии.

Архитектор Великих Пирамид, зодчие и философы века Перикла, Альберти, Леонардо да Винчи, Джакопо да Барбари, Браманте, Рафаэль, Микеланджело и Виньола непрестанно размышляли о законах «науки пространства», искали тот самый закон Числа [2].

К сожалению, ни древние египтяне, ни древние греки, ни средневековые каменщики, ни плотники Древней Руси не сохранили для потомком секреты своих пропорций. Ни в уцелевших фрагментах пифагорейцев, ни в трудах Платона, Аристотеля, Архита, Евклида, Архимеда, Аполлония нет ни намека на теорию архитектурных пропорций. И это в то время, когда Пифагор знал по крайней мере, три вида «древних» пропорций, когда Платон в «Тимее» доказывал, что красота полностью зависит от совершенства пропорций, а Евклид в «Началах» дал развитое математическое учение о пропорциональности и применял правило золотого сечения для построения правильного пятиугольника! Единственное дошедшее до нас античное сочинение о зодчестве – это знаменитые «Десять книг об архитектуре» Витрувия, время написания которых относят к 27-14 гг. до н.э.

«Десять книг» Витрувия в архитектуре, как и «Начала» Евклида в математике, стали энциклопедией античных знаний, являясь не только собственным сочинение автора, но и собранием известных к тому времени трудов в данной области. Сам автор не в коем случае не скрывал этого, более того: «Что до меня, о Цезарь, то я не выпускаю этого сочинения под своим именем, заметая следы чужой работы, и не намерен доказывать свою правоту,

опорочивая чьи-либо мысли, но, напротив, я приношу бесконечную благодарность всем писателям за то, что, собрав из прошлого превосходные творения человеческого гения, они, каждый в своем роде, накопили изобильные запасы знаний, благодаря которым мы, как бы черпая воду из источника и проводя ее для собственных нужд, имеем возможность писать красноречивее и свободнее и, опираясь на таких авторов, осмеливаемся давать новые наставления» [3].

По словам немецкого математика Давида Гильберта (1862-1943) такая «собирательность» (по-латыни – «компилятивность») не умаляет достоинств авторов, ибо, значение научной работы можно измерить числом предыдущих публикаций, которые стали ненужными после появления этой работы [4].

Но в теории архитектурных пропорций энциклопедия античного зодчества Витрувия суждено было стать источником глубоких заблуждений. Дело в том, что в своем сочинении Витрувий справедливо называет совершенными те сооружения, в которых достигнута «точная соразмерность» всех частей с основной мерой. Однако какой математический смысл вкладывает автор в эту фразу, оставалось неясным. После падения Рима о Витрувии надолго забыли, и только через тысячу лет, в 1414 г., в монастыре Сен-Галлен в Италии был случайно обнаружен единственный экземпляр трактата. «Десять книг» мгновенно стали настольной книгой зодчих итальянского Возрождения, поклонников античной классики. Авторитет Витрувия был огромен, так как ему посчастливилось читать пропавший трактат создателя Парфенона, зодчего Иктина «О соразмерности дорийского храма на Акрополе». С тех пор «точную соразмерность», о которой говорит Витрувий, стали понимать в простейшем арифметическом смысле – как кратность всех частей сооружения основному модулю.

Единицу измерения, принимаемую для согласования размеров частей сооружения между собой и со всем сооружением принято называть в архитектуре модулем (от лат. modulus – мера) В качестве модуля в зависимости от особенностей конструкции и композиции здания принимались различные величины, например диаметр колонны в античной архитектуре или диаметр купола в византийском зодчестве. Еще чаще использовали так называемый линейный модуль, когда архитектурной мерой являлась непосредственно мера длины всегда естественным образом связанная с человеком: шаг, сажень, стопа, пядь, фут, дюйм, ярд (Последний, например, был введен в 1101 г. указом английского короля Генриха I и равнялся расстоянию от кончика носа его величества до конца среднего пальца его вытянутой руки.) «Точную соразмерность» теоретики Возрождения поняли арифметически: модуль должен целое число раз откладываться в каждой из частей архитектурного сооружения. Таким образом, в теории архитектуры допускались только рациональные пропорции, отношения целых чисел, а об иррациональных пропорциях не могло быть и речи. Это убеждение подкреплялось и тем, что в музыке со времен Пифагора также господствовали целочисленные отношения интервалов.

Но шедевры древней архитектуры говорили об обратном: античные пропорции основаны на иррациональных отношениях. «Точную соразмерность» частей и целого можно достигнуть и другим путем – геометрическим. Например, построив квадрат со стороной АВ и измерив шнуром его диагональ АС, нетрудно было получить иррациональную пропорцию

л/2

АВ/АС=—j—, даже не зная иррациональных чисел (рис. 1). Далее, отложив с помощью шнура

на продолжении стороны АВ диагональ AC=AD, легко было построить прямоугольник с

л/2

иррациональным отношением сторон DE/AD= —j—. Повторив эту операцию несколько раз,

можно получить систему прямоугольников с иррациональными отношениями сторон.5+1)/2=Ф.

ЕР

АС

СИ М ‘

±_

‘VI

±_

~Я5

01

АР’

х

VI

(а)

(б)

ВС=1 АВ—2 АС=\/5 АЕ=</5-1 £В=3-</5

АВ АЕ ‘

ЕВ

АЕ’

М.5=15=

СВ 90 /46

(г)

50 </5-1

= 1р =а,Б1в

Рис.1 Примеры геометрического построения иррациональных отношений. а)-Диагональ квадрата. б)- Система прямоугольников с иррациональными отношениями сторон. в)- Золотое сечение в системе «двойной квадрат». г) Помпейский пропорциональный циркуль, установленный на золотое сечение.

Помимо гипотез, построенных на изучении геометрических свойств античных памятников, были и «материальные» свидетельства того, что древние пользовались иррациональными пропорциями. История сохранила имена древних математиков и зодчих -Имхотепа и Хесиры, живших в ХХУШ веке до н.э., – строителей первой в истории Древнего Египта пирамиды фараона Джосера в Саккаре.5=0,447 [5,6].

Рис.2 Зодчий Хесира. Фрагмент деревянной панели из гробницы Хесиры в Саккаре. XXVIIIв.до н.э.

Остается открытым вопрос, какой же системой пропорций пользовался зодчий Парфенона Иктин. Однако, можно смело сделать вывод, что понятие «архитектурная пропорция» для всех культур тесно связано с понятием «золотой», или как ее называли во времена Возрождения, божественной пропорции.

Список литературы:

1. Альберти Л.-Б. Десять книг о зодчестве.- М.: ИАА, 1935.

2. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве.- М.: ИАА, 1936.

3. Витрувий М.П. Десять книг об архитектуре.- М.: ИАА, 1936.

4. Иконников А.В. Художественный язык архитектуры.- М.: Искусство,

1985.

5. Гримм Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. Л.;М.: ОНТИ, 1935.

6. Волошинов А.В. Математика и искусство.-М.: Просвещение,1992.-235 с.:ил. – ISBN 5-09-002705-6

Что означает пропорция в архитектуре?

Пропорция — центральный принцип архитектурной теории и важная связь между математикой и искусством. Это визуальный эффект взаимоотношений различных объектов и пространств, составляющих структуру, друг с другом и с целым.

Как пропорция используется в дизайне и строительстве?

Окна и двери имеют пропорции которые устанавливает производитель. Эти изготовленные материалы должны идеально сочетаться с другими материалами, используемыми в строительстве, поскольку они влияют на общий размер, пропорции и расстояние между единицами конструкции, такими как стена с дверями и окнами.

Что означает слово пропорция в дизайне?

Пропорцию в искусстве можно определить как отношение, основанное на размере между частями или объектами в композиции. Его не следует путать с масштабом, который определяет соотношение между различными произведениями искусства и их размерами.

Какова роль пропорции и человеческого масштаба в архитектуре?

Масштаб и пропорции играют очень важную роль в архитектуре. Пропорция относится к правильному и гармоничному отношению одной части к другой или к целому, в то время как Масштаб относится к размеру чего-либо по сравнению с эталонным стандартом или к размеру чего-либо еще (как человек).

Почему важны масштаб и пропорции?

Масштаб и пропорции поддаются всем аспектам дизайна интерьера. Понимание масштаба и пропорции помогает нам создать сбалансированный интерьер. По определению масштаб – это отношение между двумя или более объектами.

В чем разница между пропорцией и масштабом?

Масштаб также описывает размер объекта относительно к человеческой фигуре; например, мебель разработана в человеческом масштабе. Пропорция – это понимание масштаба конкретных элементов дизайна на одном объекте; эти элементы включают размер, форму, текстуру и цвет.

Что такое пропорция и масштаб?

Пропорция означает, насколько хорошо эти части сочетаются друг с другом.. Масштаб – это то, насколько хорошо ваши предметы вписываются в ваше пространство. Хотя это самый математический принцип дизайна интерьера, ваш глаз может легко определить, когда что-то выглядит не на своем месте.

Какова цель пропорции в дизайне?

Пропорция относится к относительному размеру и масштабу различных элементов дизайна. Проблема заключается в отношениях между объектами или частями целого. Это означает, что это необходимо обсудить это с точки зрения контекста или стандарта, используемого для определения пропорций.

Как добиться пропорций в дизайне?

Пропорция в дизайне означает достижение баланса, а баланс является ключевым. Пропорциональный дизайн радует глаз и улучшает дизайн. Правильная пропорция может быть достигнута через повторение форм, цветов или текстур. Личный стиль и предпочтения также способствуют достижению правильного пропорционального баланса.

Как описать пропорции?

Пропорция просто утверждение, что два соотношения равны. Его можно записать двумя способами: как две равные дроби a / b = c / d; или используя двоеточие, a: b = c: d. Следующая пропорция читается как «двадцать к двадцати пяти, как четыре к пяти». … Мы также можем использовать перекрестные произведения, чтобы найти недостающий член в пропорции.

Как грамотно определить масштаб и пропорции дома

Ещё один инструмент в арсенале архитектора – это масштаб и пропорции. Они относится к тому, как отдельные части здания связаны друг с другом и с тем, как в целом необычный дом гармонирует с окружающим ландшафтом.

Обратите внимание, что масштаб необязательно означает размер. Апартаменты могут быть довольно большими, но иметь комфортную и интимную для человека обстановку. И наоборот. В маленьком домике можно жить вполне прекрасно с использованием маленьких элементов и других конструктивных особенностей.

Некоторые дизайнеры и архитекторы интуитивно проектируют строения с великолепными пропорциями, другие применяют такие системы, как золотое сечение. Сегодня мы вас познакомим с тем, как использовать эти инструменты при разработке собственного творческого шедевра.

1. Сформируйте уголки в большом доме

Этот особняк был разделён на отдельные области, каждая из который с собственной крышей, придающей ему визуально меньший облик. Материалы, палитра и пропорций связывают различные части вместе, а также резиденцию с окружающими холмами и зелёными насаждениями.

Проект от Mahoney Architects & Interiors

2. Создайте интересную композицию в ландшафте

Домик в поле или на другой обширной территории должен обладать эффектом присутствия. Для этого используйте смелые цвета или архитектурной детали, способный подчеркнуть его внешний облик.

Декор от Eck | MacNeely Architects inc.

3. Изменение масштаба по мере приближения к дому

Уменьшите размер архитектурных деталей, поскольку существует прямая зависимость между человеческим телом и габаритами сооружения.

Проект от Bud Dietrich, AIA

4. Используйте пропорциональную систему, чтобы установить оптимальные размеры помещений

Высоту и ширину комнаты определите с использованием золотого сечения – техники, которая была разработана ещё тысячу лет назад.

Эскиз от Bud Dietrich, AIA

В этой комнате высота потолка и расположение декоративных панелей на кирпичной кладке стены было определено специалистом на основе мерных правил.

Спальня от Bud Dietrich, AIA

5. Стильные аксессуары и отделка

Подбирайте стильную мебель, аксессуары и варианты отделки, чтобы сохранить человеческий масштаб. Камин, мягкий уголок и ковёр создают интимную обстановку в довольно большом зале с высоким потолком.

Гостиная от Christopher A Rose AIA, ASID

6. Сформируйте грандиозный размах в помещении с помощью маленьких элементов

В этой крошечной комнатке ощущение простора и объёма создаётся благодаря сводчатому потолку, камину и балюстрадам.

Гостиная от Eck | MacNeely Architects inc.

7. Используйте обивку для потолка, чтобы уменьшить его воспринимаемую высоту

К тому же этот архитектурный элемент позволяет сформировать более комфортную атмосферу в комнате.

Дизайн от Lisa Henderson – Harvest Architecture

8. Сохраните существующие габариты здания при добавлении новых инженерных элементов

Обратите внимание на следующую фотографию, выступ из крыши гармонично сочетается с общей конструкцией благодаря использованию аналогичной черепицы и оконных блоков.

Фасад от One Room at a Time, Inc.

Понятие пропорции и пропорциональности – Понятие пропорции и пропорциональности

ПОНЯТИЕ ПРОПОРЦИИ И ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ

Пропорции в архитектуре служат средством упорядоче­ния и установления закономерных взаимосвязей между всеми частями сооружения. Пропорция – это соотношение между ар­хитектурным сооружением в целом, и его частями, – между отдельными частями и их элементами. Пропорция (от лат. слова «proportio » ) – означает соразмерность. Удачно найденные пропор­ции являются одним из существенных моментов, определяю­щих художественную ценность сооружения.

Существует мною теорий пропорций, но для практиче­ской работы они могут иметь лишь подобное значение.

Модульная система пропорций известна со времен ан­тичности и лежит в основе архитектурных ордеров, где за модуль принят радиус нижнего основания колонны. Можно отметить геометрическую пропорциональную систему (кото­рая также называется иррациональной) и метод “подобия пропорций”, разработанный немецким архитектором А.Тиршем в конце XIX в.

Вам также может быть полезна лекция “10.1 Компьютерные преступления”.

Наибольшее распространение получил метод пропор­ций, называемый “золотым сечением” (приближенные число­вые значения этой теории 5:3). Метод этот известен со времен Леонардо да Винчи. Но наиболее полно значение “золотого сечения” было отмечено в конце XIX в.

При выведении пропорциональности этим методом ис­ходят из того, что деление целого на 2 части пропорциональ­но тогда, когда меньшая так относится к большей, как боль­шая – к целому.

Из последних работ, посвященных проблеме пропор­ций, представляет интерес система “модулор” архитектора Ле Корбюзье.

В ней сделана попытка увязать размеры, выраженные в метрах с размерами человеческой фигуры. Взяв за основу рост человека высотой 183 см и высоту человека с поднятой рукой – 226 см, Ле Корбюзье создал шкалу измерений из двух рядов, расчленив эти размеры в отношениях “золотого сече­ния” (“красная” и “синяя” шкала).

Принцип этой системы измерений таков, что каждый последующий член “синей” шкалы может быть получен уд­воением предыдущего члена “красной” шкалы”.

Достоинством этой системы является то, что все число­вые величины согласуются с основными параметрами челове­ка. Недостатком “модулора” является дробность величин, которая очень усложняет вычисление. На базе “модулора” Ле Корбюзье построил несколько архитектурных сооружений .

Золотая пропорция в архитектуре г.Лангепас. ⭐ Бесплатные PDF на Cdnpdf.com ✔️

Слайд #1

Золотая пропорция в архитектуре г.Лангепас Автор: Коломиец Елизавета Владимировна МОУ СОШ №3, 4А класс Научный руководитель: Ефимова Елена Михайловна Учитель математики, МОУ СОШ №3

Слайд #2

Цель работы: установить закономерности, которые описывают основы красоты в архитектуре города. Гипотеза исследования: в форме красивых зданий в большинстве случаев присутствуют закономерности «золотой» пропорции. Объект исследования – «золотая пропорция» в архитектуре. Предмет исследования – архитектура г. Лангепаса.

Слайд #3

Задачи работы:  провести анкетирование учащихся нашей школы и установить, выбрали ли учащиеся в качестве красивых те здания, в форме которых содержится «золотая» пропорция. изучить литературу по теме «Золотая пропорция»; выявить причины, почему именно такая пропорция положена в основу формы красивых зданий; исследовать, в форме каких зданий города Лангепаса содержится «золотая» пропорция;

Слайд #4

Результаты анкетирования Вопрос: Считаете ли вы город Лангепас красивым? Да – 96% Нет – 4%

Слайд #5

Какое здание города вы считаете красивым?

Слайд #6

В чём вы видите красоту здания? Современный дизайн 20 Необычная форма 18 Красивое оформление 16 Размер здания 15 Яркие цвета 14 Большие окна 7 Ровные стены 6 Пропорциональность 4

Слайд #7

Пропорцией называют равенство отношений двух или нескольких пар чисел или величин a : b = c : d.  Величины a, b, c, d называют членами пропорции, a и d  – крайними,  b и c –средними, причём b≠0; d≠0. 

Слайд #8

«Золотым» прямоугольником называется такой прямоугольник, в котором отношение длины меньшей стороны к длине большей равно 0,618

Слайд #9

Радость» Храм в честь иконы Божией матери «Всех скорбящих Радость»

Слайд #10

Дом правосудия

Слайд #11

Водно-спортивный комплекс «Дельфин»

Слайд #13

Понимание и использование принципа золотого сечения не должно быть уделом некой элиты – это самое базовое знание, с которого начинаются бесконечно сложные законы гармонии и соизмерения. Нет границ применению этих законов в жизни каждого дня. Выделение главного и второстепенного по отношению к целому может касаться чего угодно. Это и распределение своего времени, и творческий процесс, включая все виды искусства, литературу, музыку. Это и есть золотой срединный путь, о котором говорили древние. Не может быть свободы в невежестве. Грубость и неразборчивость вкуса должна преодолеваться.

Пропорции и масштаб в архитектуре

Пропорция и масштаб широко используются в архитектуре для создания форм, которые одновременно функциональны и приятны для глаз. Установление баланса между ними — вот что отличает великую архитектуру от других типов структур.

Дизайнеры используют масштаб для создания композиций, подходящих по размеру для предполагаемого использования, и соразмеряют их таким образом, чтобы отдельные части относились друг к другу, а также ко всему зданию в целом, гармоничным и рациональным образом.

Цель проектирования зданий – создать композицию, которая вдохновляет чувства и в то же время организована узнаваемым и рациональным образом. Хотя и масштаб, и пропорция влияют на эстетическое качество здания, они делают это по-разному.

Разница между пропорцией и масштабом

Масштаб обычно относится к размеру объекта или формы относительно эталона. Эталоном ссылки может быть общая композиция или, возможно, смежная форма.Однако масштаб — это лишь относительное сравнение размеров.

Пропорция, с другой стороны, принимает во внимание правильное или гармоничное соотношение между формами относительно друг друга или композиции в целом. Пропорция касается как качества, так и степени акцента или артикуляции.

Помимо дизайнерского замысла, существуют и другие факторы, влияющие на масштаб и пропорции. Например, стандартный размер используемых материалов и структурные требования или ограничения также могут играть роль.

Пропорции материалов

Материалы из-за присущих им физических свойств имеют ограничения по размеру. Их прочность, эластичность, твердость и долговечность ограничивают их длину, ширину или толщину, прежде чем они сломаются или разрушатся.

Пропорции материала также регулируются тем, как он реагирует на силы напряжения. Некоторые материалы, например кирпич, лучше работают при сжатии. Их размер и масса подобраны таким образом, чтобы максимально использовать это природное качество.

Сталь

, с другой стороны, способна работать как при растяжении, так и при сжатии. Это придает материалу большую гибкость. Из него можно сделать линейные формы, такие как колонны и балки, но в то же время из него можно сделать листы металла. Несмотря на это, существуют пределы его размера и формы, определяемые точкой отказа.

Древесина является довольно гибким и эластичным материалом, и ее также можно использовать для изготовления линейных форм, таких как стойки и балки, или в виде плоских листов.

Структурные пропорции

Подобно строительным материалам, конструктивные элементы подбираются в соответствии с их функциональными требованиями и ограничениями по прочности.

Балка, например, имеет значительно большую глубину пропорционально ее ширине. Это позволяет ему преодолевать большие расстояния и выдерживать больший вес.

С другой стороны, толщина колонны увеличивается в зависимости от веса, который она должна поддерживать. Оба структурных элемента дают представление о размере и пропорциях занимаемого ими пространства.

Промышленные пропорции

Архитектурные элементы имеют пропорции не только исходя из конструктивных ограничений, но также могут иметь размеры, основанные на производственных стандартах и ​​нормах.

Эти пропорции часто диктуются соглашением, но другие факторы, такие как простота транспортировки и эффективность упаковки, также могут играть роль, поскольку элементы производятся на заводах-изготовителях.

Поскольку эти промышленные изделия функционируют в сочетании с другими элементами здания, часто также изготавливаемыми на заводе, их размер и пропорции также устанавливаются на основе их отношения к этим другим частям.Как они вписываются в общую сборку, например.

Примером этого являются двери и окна, которые должны вписываться в проемы модульной кладки. Точно так же размеры обшивочных материалов подбираются в соответствии со стандартными требованиями к расстоянию между деревянными и металлическими стойками и балками.

Системы дозирования

В то время как размер материалов, структурных и других строительных элементов ограничен их способностью противостоять силам природы, масштаб и пропорции здания также могут быть определены проектировщиком.

Дизайнер может сделать пространство выше или короче или придать ему квадратную, прямоугольную или круглую форму. Эти решения могут быть обусловлены индивидуальным замыслом проекта, но также могут быть получены из систем и методов пропорций, общепринятых в проектировании зданий.

Эти пропорциональные системы помогают унифицировать интерьер и экстерьер здания и создают ощущение порядка во всей композиции. Различные формы и формы могут быть объединены с пропорцией, чтобы создать более гармоничные отношения между каждой из частей.

На протяжении всей истории системы пропорций использовались для создания эстетического обоснования, подчеркивающего красоту здания. Некоторые распространенные системы дозирования включают:

  • Золотое сечение
  • Классические ордера
  • Теории Возрождения
  • Модульность
  • Кен
  • Антропометрия
  • Масштаб
Золотое сечение

9

Золотое сечение — это основанная на математике система пропорций, используемая древними цивилизациями, включая греков и римлян, а также современными дизайнерами, в первую очередь французско-швейцарским архитектором Ле Корбюзье.

Он основан на представлении о том, что математические пропорции, распространенные во Вселенной, имеют гармоничную структуру. Их можно описать в терминах частей относительно целого и алгебраической формулы: a/b = b/(a+b) = 0,618.

Эта система пропорций используется не только в архитектуре, но и в других творческих областях, таких как искусство, графический дизайн, музыка, и даже в изобилии встречается в структурах живых организмов, включая человеческое тело.

Классические ордера

Классические ордера, использовавшиеся греками и римлянами в древности, представляли собой совершенное выражение красоты и гармонии. Они основывались не на фиксированной единице измерения, а скорее на соотнесении частей с целым.

Основной единицей измерения был диаметр колонны. Размеры вала, капители, пьедестала и антаблемента были основаны на этом начальном размере. Пять классических орденов, от наименее богато украшенных до наиболее богато украшенных, включают:

  • Тосканский
  • Дорический
  • Ионический
  • Коринфский
  • Композитный
Теории Возрождения

Теории дизайна эпохи Возрождения глубоко укоренились в греческой математической системе пропорций.Пифагор открыл, основываясь на созвучиях греческой музыкальной системы, что существует простая числовая прогрессия 1, 2, 3, 4, которая может быть выражена в соотношениях 1:2, 1:3, 2:3, 3:4 до создавать гармоничные композиции.

Архитекторы эпохи Возрождения считали, что пространственные единицы здания должны быть основаны на этих математических формулах. Одним из самых влиятельных архитекторов итальянского Возрождения был Андреа Палладио, который в своей книге «Четыре книги по архитектуре » изложил систему пропорций, которая делает помещения красивыми и гармоничными.

Палладио, например, предложил методы определения высоты помещений на основе их длины и ширины. Он предположил, что комната с плоским потолком должна быть такой же высоты, как и ширина. Квадратные комнаты со сводчатыми потолками должны быть на треть выше своей ширины. Для других комнат Палладио использовал теорию средств Пифагора, чтобы установить их высоту.

Модульный

Модульная система пропорций прославилась благодаря французско-швейцарскому архитектору Ле Корбюзье. Основанный на концепциях измерения, использовавшихся древними греками, египтянами и другими высокоразвитыми цивилизациями, Modular использует математические пропорции человеческого тела в качестве точки отсчета.

Modular сочетает в себе эстетические размеры Золотого сечения и числового ряда Фибоначчи с масштабом человеческого тела. Ле Корбюзье рассматривал модульность не только как последовательность чисел, но и как систему измерений, которая может определять размеры объемов и поверхностей на основе человеческого масштаба.

Кен

Кен появился во второй половине Средневековья в Японии. Первоначально он использовался для обозначения интервалов между столбцами и различался по размеру. Однако со временем он стал стандартной единицей измерения жилой архитектуры.

Базовой единицей измерения является модульный напольный коврик 1:2, который можно сконфигурировать различными способами в зависимости от количества и расположения используемых ковриков. Традиционный размер коврика определялся размером, необходимым для того, чтобы на нем могли сидеть два человека или чтобы на нем мог лежать один человек. Однако по мере увеличения использования сетки кен ее размеры в конечном итоге стали основываться на структурных требованиях, а не на человеческих размерах.

Размер комнаты определялся количеством использованных кенов. Чем больше ковриков используется, тем больше комната.Высота потолка, в свою очередь, получается из количества матов х 0,3. Кен превратился из единицы измерения зданий в эстетический модуль, упорядочивающий материалы, пространство и структуру японской архитектуры.

Антропометрия

Антропометрия относится к определению размеров объектов относительно человеческого тела. В то время как древние культуры использовали пропорции человеческого тела в качестве отправной точки для дизайна и эстетических соображений, они использовались более теоретически.С другой стороны, антропометрия более практична и функциональна в своем подходе.

Антропометрия основана на предположении, что пропорции человеческого тела влияют на долю вещей, с которыми мы справляемся. Ограничения по высоте и расстоянию до предметов, до которых мы пытаемся дотянуться, влияют на то, как мы двигаемся и взаимодействуем с окружающей средой. Размер мебели и высота, на которой размещены архитектурные элементы, отражают это понятие.

Весы

Масштаб учитывает размер вещей относительно других эталонных предметов.Его можно ощутить только в сравнении с чем-то другим. Эта точка отсчета может быть стандартом, который мы повсеместно ожидаем, или это может быть соседний объем или пространство, служащее относительной шкалой.

Масштаб также можно воспринимать относительно человеческого тела, как обсуждалось ранее. Уединенная комната может заставить нас чувствовать себя более комфортно и контролировать ситуацию, в то время как монументальная по своим масштабам комната может заставить нас чувствовать себя маленькими и незначительными.

Среди размеров комнаты высота оказывает большее влияние на масштаб, чем ширина или длина.Помимо вертикального размера, другими факторами, влияющими на масштаб, являются цвет, форма и узор окружающих поверхностей. Точно так же предметы, размещенные в комнате, могут повлиять на восприятие масштаба.

Заключительные примечания

Системы пропорциональности использовались на протяжении всей истории архитектуры для создания порядка и эстетической красоты. Цель всегда состоит в том, чтобы найти наилучший баланс между масштабом, то есть размером форм по отношению к другим, и гармоничным соотношением между частями.

Масштаб и пропорции определяли ход архитектуры на протяжении веков. В тех зданиях, которые мы больше всего помним или которые больше всего ценятся историками, удалось найти уникальную гармонию между этими двумя элементами дизайна.

Ссылки

Принципы, изложенные в этой статье, взяты из иллюстративных работ Фрэнсиса Д.К. Чинг. Если вы хотите узнать больше по теме и увидеть графические иллюстрации, которые сделали книгу классикой среди студентов, изучающих архитектуру на протяжении многих лет, ознакомьтесь с Архитектура: форма, пространство и порядок .

Правил пропорций | ЭТОСтолярная мастерская

От греков к золотому прямоугольнику

В соавторстве с Тоддом Мердоком

Когда дело доходит до правил пропорции, я никогда не понимал всей картины. По крайней мере, до недавнего времени, не раньше, чем последние три года изучая классические ордера с Тоддом Мердоком — по одной версии SketchUp за раз. Теперь я понимаю, почему мне было так трудно понять правила пропорции.Их нет. Их не существует. Но есть ориентиры.

Я заметил растущий интерес к классическим ордерам, лежащим в основе большей части архитектурного дизайна. Но так было не всегда. Когда я начал работать в строительстве в начале 1970-х годов, модернизм все еще привлекал внимание многих архитекторов, строителей и домовладельцев. К тому времени модернизм — от Фрэнка Ллойда Райта до Уолтера Гропиуса и движения Баухаус — оказал влияние на традиционные стили строительства, представив меньшие и более обтекаемые молдинги, большие панорамные окна и раздвижные стеклянные двери, которые перенесли улицу внутрь помещения, наряду с консолями, необычными конструкциями. фигурные колонны и множество других эффектов.

Некоторые историки архитектуры высмеивают влияние модернизма, который часто отрицал стоечно-балочную структуру классических ордеров, иногда с глупыми результатами. (Примечание: щелкните любое изображение, чтобы увеличить его.)

Десять лет спустя, пытаясь понять, как спроектировать каминную полку в колониальном стиле для заказчика из Лос-Анджелеса, я понял, насколько сложно было изучать классические ордера. Сначала я обнаружил, что не существует единой простой для понимания системы дизайна или пропорций. На самом деле то, с чем я столкнулся в местной университетской библиотеке, было запутанным набором систем и подходов к пропорциям.Но мне, как плотнику, нужно было всего одно! И все твердили мне, что классические ордера основаны на греческих храмах, на Парфеноне. Если бы это было правдой, как могло бы быть так много разных интерпретаций?

Как и большинству плотников, мне нужно было выполнить работу, поэтому я выбрал автора с наибольшим количеством титулов, Ашера Бенджамина, и, как мне показалось, простой для восприятия системой. Подход Бенджамина казался… ну… доступным. К тому времени я построил несколько каминных полок, но ни одна из них не «устраивала».На этот раз я хотел начать с действительно приятного дизайна и должен был знать, какой ширины и глубины должны быть пилястры, какой высоты должен быть антаблемент, как далеко должен простираться карниз. Да, я хотел узнать правила. У Бенджамина не было недостатка в правилах. И по какой-то глупой причине я все еще думал, что все они произошли от Парфенона!

Из-за того, что книга была такой маленькой, иллюстрации скудны, информация незначительна и почти непонятна, особенно пропорции классических ордеров.

···

Беньямин дал совершенно четкую систему пропорций для проектирования каминной полки, когда писал: «…разделите ширину или отверстие Дымохода на восемь или девять частей; отдайте одну восьмую или одну девятую на ширину архитрава» (табл. XVII).

Я оценил простую систему Беньямина, разбивающую классические ордера на небольшое количество частей — от 11 частей для тосканского до 14 частей для коринфского. Я мог справиться с этим. Но затем я совершил ошибку, прочитав следующую книгу Ашера Бенджамина ( The American Builder’s Companion , 1827), где он полностью изменил правила и разбил тосканский порядок на ТРИДЦАТЬ ДЕВЯТЬ частей.И чтобы еще больше запутать, он описал размер каждой детали лепного украшения, используя систему, основанную на минутах ( Архитектор, или Практический плотник , 1830). Минуты! Какое отношение время имеет к пропорции?

Разбив заказ на 39 частей, Бенджамин смог определить размер каждой основной части, от плинтуса и тора (плинтуса) до циматия (короны). Для точных размеров Бенджамин создает новую единицу измерения, разделив диаметр основания колонны на 60 равных частей, называемых «минутами».

Всех этих частей (и минут тоже!) было слишком много для моего ума с арифметикой. Кроме того, если не считать некоторых причудливых декоративных элементов, таких как листья аканта, флейты и завитки, триглифы, метопы и модиллионы блоков, все ордена казались мне почти одинаковыми! Но все же я испытал облегчение от того, что нашел правила, открыл последнее слово, узнал, как греки строили пропорции Парфенона, римляне проектировали Пантеон, и все это прямо от Ашера Бенджамина, истинного источника американской архитектуры.

Фууи.

Примерно пять лет спустя я снова был в библиотеке и читал репринтную копию книги Абрахама Свона Британский архитектор (1758). Какой потрясающий! Свон разбил тосканский ордер всего на ДЕВЯТЬ частей, что значительно упростило арифметику! И Свон разрушила все мои представления об универсальных правилах пропорций!

Имея всего ДЕВЯТЬ частей, система Авраама Свона для определения пропорций тосканского ордера кажется намного проще, чем система Бенджамина — по крайней мере, на первый взгляд!
Но система Swan не так проста, если вы детализируете размер каждого молдинга, что по-прежнему требует многократных и трудоемких делений.Вместо того, чтобы разделить диаметр основания колонны на 60 минут, он делит его на 48 равных частей.

Так как же могут быть две или даже три разные системы и измерения для пропорции классических порядков? Простой. Ни один из этих примеров не основан на конкретных греческих или римских руинах. Все они зависят от мнения и вкуса отдельного автора. Действительно, единственное, что у них общего, это то, что своим подходом они обязаны Витрувию (см. Историю ниже).  

Понимание систем пропорций

Немногие плотники имеют возможность изучать классические ордера, а тех, кто пытался хотя бы бегло изучить, сразу же смущают рисунки, датируемые несколькими столетиями, изображающие каждый ордер в возрастающей высоте, от «коротких» тосканских до «высоких» составных. .

Эта иллюстрация — с ордерами, нарисованными с использованием одного и того же диаметра основания — вызвала больше путаницы, чем понимания! Первое впечатление, что составной и коринфский ордер выше тосканского ордера.Эти старые иллюстрации, основанные на диаметре, заставляют нас поверить, что тосканский ордер не тяжелее, прочнее и существеннее любого из последующих ордеров, что совсем не так!

Взгляните на Дрейтон-холл, один из самых знаковых образцов георгианской архитектуры в Америке, построенный примерно в 1738 году и с тех пор почти не тронутый.

Портик поддерживается на первом этаже прочными тосканскими колоннами, способными выдержать вес пола и крыши, а более легкие ионические колонны поддерживают второй этаж и крышу.
Также обратите внимание, что ионические колонны опираются на пьедесталы, а перила красиво заканчиваются прямо под крышкой пьедестала. К сожалению, именно этот тип деталей или «порядок» сейчас отсутствует в большей части архитектурного дизайна.

Классические пропорции имеют гораздо больше смысла, если ордена нарисованы на одной высоте, а не на одном и том же диаметре основания. В конце концов, плотникам (как и архитекторам и дизайнерам) приходится работать с фиксированными отметками — высотой внешней стены, высотой внутреннего потолка.Вот почему иллюстрация, подобная этой, основанная на общей высоте, имеет гораздо больше смысла.

История

Теперь, когда Тодд предоставил простое анимированное руководство по пониманию пропорций, давайте вернемся к Парфенону, древнему храму, на который многие из нас ошибочно указывают как на источник правил пропорций.

Жизнь забавна. Вещи, которых вы избегаете в юности, становятся в более старшем возрасте гораздо более привлекательными и привлекательными, например, вы находите красоту в стариках — вы знаете, в людях в возрасте 50–60 лет — то, что вы не можете себе представить, когда вам 20 лет. старый.Архитектура такая. Чтобы оценить классические порядки и оценить разнообразие систем, используемых для определения правильных пропорций, полезно оценить историю, и я имею в виду гораздо более раннюю, чем 50 или 60 лет назад.

Хотя Парфенон не входит в список семи чудес света, он является самым важным архитектурным сооружением в западном мире, построенным греками где-то около 447 г. до н.э. История здания — от проектирования и строительства, через войны, пожары и грабежи — необыкновенна.Для видеозрителей рекомендую программу PBS Nova о Тайнах Парфенона. Для читателей попробуйте Mary Beard’s, The Parthenon .

Витрувий, римский военный инженер и архитектор, опубликовал самую раннюю известную работу по архитектуре, De Architectura (Десять книг по архитектуре), где-то около 1 века до н.э., и он внимательно изучал Парфенон. В частности, он описал мельчайшие отклонения от идеально прямых линий, обнаруженные в стилобате или ступенях, ведущих к храму, в энтазисе колонн и в том, что мы сегодня признаем как слегка изогнутый архитрав, включая кривизну самих панелей метопа.

447-438 г. до н.э., Афины, Греция — Парфенон в сумерках — Изображение © Colin Dixon/Arcaid/Corbis

Витрувий разработал первую известную систему пропорций, используя «части» для определения каждой части порядка. Тем не менее, даже Витрувий описывает, как время повлияло на пропорции: «Верно, что потомство, достигшее прогресса в утонченности и утонченности чувств и находя удовольствие в более тонких пропорциях, установило семь диаметров толщины как высоту дорической колонны, и девять, как у Iconic» (Морган 104).[я]

В 1452 году Леон Батиста Альберти, писатель и архитектор, опубликовал первую крупную работу по архитектуре итальянского Возрождения «De re aedificatoria» («Об искусстве строительства»). Альберти основывал многие из своих правил пропорций на работах Витрувия, написанных почти полторы тысячи лет назад.

В 1562 году, спустя немногим более ста лет, Джакомо Бароцци да Виньола, художник и архитектор, работавший в одно время с Микеланджело, обмерил римские руины и памятники, затем издал Канон Пяти Орденов Архитектуры .Как ранее объяснял Тодд, Виньола создал самую простую и наиболее влиятельную систему пропорций классических колонн и архитектурных украшений.

Менее чем через десять лет Палладио измерил греческие руины и опубликовал свои выводы по пропорциям в «Четырех книгах по архитектуре» (1570 г.), используя систему пропорций, почти такую ​​же, как Виньола: например, ионическая колонна Палладио «девять модули высокие… модуль (являющийся) нижним диаметром колонны» (Палладио 19).[ii]

Из-за предположительно тщательных измерений Палладио — но в основном из-за мастерства в публикации — ему часто приписывают разработку настоящей системы пропорциональных правил, полностью основанной на классических порядках. Но именно система Виньолы повлияла на большинство архитектурных авторов.

И хотя Палладио считается одним из первых, кто измерил греческие руины, плотники и подрядчики должны сделать паузу, чтобы представить себе, насколько тщательно могли быть выполнены эти измерения.Как пишет Колдер Лот: «…внимательный взгляд на некоторые детали показывает, что Палладио не всегда был точен в своих описаниях многих черт. Мы можем предположить, что Палладио полагался на помощников, которые выполняли некоторые фактические измерения, когда он записывал записи и делал наброски на основе переданной ему информации» (Loth 7355).[iii]

Генри Парк дает нам довольно хорошее представление о системе измерения Парфенона Палладио.[iv]

После Палладио многие архитектурные авторы написали и проиллюстрировали свои варианты ордеров.В некотором смысле поразительно, как много людей посвятили так много времени и энергии установлению своего видения классических порядков и их системы пропорций. Среди этих архитекторов/авторов/иллюстраторов были Джеймс Гиббс (который работал в то же время, что и сэр Кристофер Рен и Иниго Джонс), Авраам Свон и Уильям Чемберс, все из которых повлияли — часто напрямую — на творчество Ашера Бенджамина.

Правила или рекомендации?

Как сказал Бенджамин в предисловии к третьему изданию The American Builder’s Companion 1827 :

Затем я рассмотрел происхождение строительства, лепных украшений и ордеров.Я постарался объяснить их так ясно и полно, чтобы их нельзя было понять неправильно. Сначала они были отобраны у нескольких авторов, нарисованы в большом количестве и обработаны. После тщательного изучения те части, которые я не одобрял, были изменены путем их повторного рисования и обработки, и повторения этого процесса несколько раз, пока после самого тщательного и тщательного изучения каждой части четырех первых порядков я не был подтвержден. по мнению, что дальнейшие изменения к лучшему не могут быть сделаны; в результате каких экспериментов видятся эти порядки, они изложены по отдельности.[v]

Да, он звучит слишком самоуверенно. Чуть позже в книге Беньямин объясняет часть своих доводов в пользу исполнения классических ордеров: «Эскиз, прилагаемый здесь, а также дорический, ионический, коринфский и композитный ордера я выбрал у нескольких авторов и сделал все изменения, которые, по моему мнению, были необходимы, чтобы привести их в соответствие с практикой настоящего времени» (33).

Мы без сомнения знаем, что одним из авторов, на которых ссылается Бенджамин, является сэр Уильям Чемберс, потому что именно из более ранней работы Чемберса Бенджамин наиболее вопиющим образом занимается плагиатом, иногда по несколько страниц за раз.На самом деле Бенджамин был серийным плагиатором, он не знал границ в краже работ других авторов и выдвижении своих собственных. Всем, кто интересуется полной историей Ашера Бенджамина и его источников, следует прочитать подробное исследование Эббота Лоуэлла Каммингса.[vi]

Хотя он не занимался плагиатом, Свон также признался, что создавал свои собственные проекты и включал уникальные пропорции для классических орденов:

Ибо я замечаю, что проекты, которые были опубликованы другими, по большей части были грандиозными и напыщенными; которые, хотя они могут быть превосходны в своем роде, лишь редко вступают в употребление, так как подходят только для очень больших зданий.

Но так как джентльменов со средним состоянием больше, чем с большими поместьями, которые склонны строить дома, я полагаю, что некоторые менее дорогие проекты могут быть приемлемы для публики как имеющие более широкое применение, как, например, в некоторых следующие пластины» (Лебедь III).[vii]

Дело в том, что то, что мы могли принять за прямые измерения, сделанные в древних руинах, на самом деле не так. Все эти влиятельные авторы установили свои собственные правила и выбрали свои собственные системы пропорций, основанные на том, что, по их мнению, лучше всего подходит для каждого случая.

Ясно, что каждый из изученных нами авторов следовал той или иной форме стандартизированного дизайна, но художественная интерпретация имела больший авторитет, чем жесткие правила, как показано на различных примерах на этой иллюстрации тосканского ордена.

Осторожнее с тем, что вы читаете: мифы и заблуждения

Когда я учился в школе, один профессор однажды сказал мне: «Не верьте ни одному писателю, который ссылается на признанное или знаковое литературное произведение. Большинство авторов никогда не читают настоящий исходный материал; большинство авторов просто читают других авторов, которые цитируют исходный материал.Не будьте небрежным исследователем, — сказал он мне, — всегда читайте первоисточник самостоятельно. Возможно, ты единственный, кто это делает.

Начнем с мифа о том, что человеческое тело является источником всех архитектурных пропорций. Эту историю повторяют бесчисленные писатели, ораторы и интернет-голоса. Вместо того, чтобы повторять это снова, обратимся к первоисточнику — Витрувию, который писал: «Без симметрии и пропорции не может быть никаких принципов в устройстве любого храма; то есть, если нет точного отношения между его членами, как в случае хорошо сложенного человека» (Витрувий 72).

Так что же имел в виду наш учитель римлян? Витрувий объясняет это хорошо, без двусмысленности. Он описывает, как человеческое тело «создано природой», и каждая часть имеет идеальные пропорции, чтобы создать симметричное целое, «от подбородка до верхней части лба и самых нижних корней волос». Во втором абзаце «О симметрии» Витрувий даже отмечает пропорциональные размеры человеческих стоп: «Длина стопы составляет одну шестую высоты тела; предплечья – одна четвертая; и ширина груди также одна четверть.

Но нигде автор не устанавливает и даже не намекает на связь или отношение между пропорциями человека и пропорциями классических ордеров.

Витрувий просто использует симметрию и пропорции человеческого тела как пример природной красоты, аналогию: «Так же и в элементах храма должна быть величайшая гармония в симметричном отношении различных частей к общая величина целого» (73).

Маркус Фрингс описывает оценку Витрувием естественных пропорций в человеческом теле как «модель в силу ее совершенства симметричной формы в первую очередь и в первую очередь, а не присущих ей пропорций, которые часто неправильно понимают; ср. [Фрингс, 1998]. Человеческое тело, как пример модульного творения из природы, выбрано Витрувием как парадигма необходимых правил пропорции» (Фрингс).[viii]

Одной из возможных причин, по которой Витрувий так сбивает людей с толку, может быть то, что римлянин обращает наше внимание на язык измерений, на то, как наша терминология выводится из описания человеческой анатомии: «Кроме того, именно из членов тела они вывели основные идеи мер, которые, очевидно, необходимы во всех работах, таких как палец, ладонь, ступня и локоть.Они распределили их так, чтобы образовалось «совершенное число, называемое по-гречески τέλειον, и в качестве совершенного числа древние установили число десять». Ибо по числу пальцев руки складывается ладонь и стопа от ладони» (стр. 73).

К сожалению, среди писателей стало обычным ошибочно полагать, что Витрувий описывает прямую зависимость между размером стопы человека и размером диаметра колонны. Бред какой то. Это просто аналогия.  

Золотой прямоугольник: еще один миф

Поскольку мы вернулись к Витрувию, давайте подробнее рассмотрим происхождение Витрувианского человека Леонардо да Винчи и предполагаемую связь этой иллюстрации с золотым прямоугольником или золотой серединой.А затем мы займемся Кинг-Конгом всех мифов — отношением золотого прямоугольника к Парфенону.

Тот же раздел из Десяти книг об архитектуре Витрувия вдохновил Леонардо да Винчи на рисунок Витрувианского человека. В разгар обсуждения значения симметрии и пропорции Витрувий писал:

Ибо, если человека положить на спину, вытянув руки и ноги, и поставить циркуль в центре его пупка, пальцы рук и ног его двух рук и ног коснутся окружности круга, описанного от него.И так же, как человеческое тело дает круглое очертание, так и из него можно получить квадратную фигуру. Ибо если мы измерим расстояние от подошв ног до макушки головы, а затем приложим эту меру к вытянутым рукам, то окажется, что ширина равна высоте, как и в случае плоских поверхностей, которые являются идеально квадратными. (73)

Рисунок Леонардо да Винчи является точной копией описания Витрувием симметрии и пропорции человеческого тела.Хотя нигде Витрувий не ссылается на золотую середину и не опирается на иррациональные числа или соотношения для какой-либо системы измерений. Далее, обсуждая древнее правило, согласно которому «в совершенных строениях различные члены должны находиться в точно симметричных отношениях ко всей общей схеме», Витрувий обсуждает, почему греки остановились на десяти как на «совершенном числе», отчасти потому, что это число пальцы рук и ног на человеческом теле и потому, что оно легко делится, но «как только будет достигнуто одиннадцать или двенадцать, числа, будучи чрезмерными, не могут быть совершенными, пока не достигнут десяти во второй раз» (стр.73).

А в собственных заметках да Винчи, которые написаны зеркальным шрифтом на иллюстрации, нет упоминания о золотом сечении. Художник просто цитирует оригинальную работу Витрувия, не оставляя сомнений в своей цели — воспроизведении оригинальной работы Витрувия.

Из всех творений человека, приписываемых золотому прямоугольнику — от Великих пирамид Гизы до Нотр-Дама, от Тайной вечери до Моны Лизы — Парфенон, вероятно, самый выдающийся пример, а также и самый выдающееся недоразумение.Чтобы отследить связь между золотым прямоугольником и Парфеноном, я перерыл все книги по архитектуре, которые мне попадались.

Золотые прямоугольники, нарисованные широкими линиями поверх архитектурных икон, — прихоть догадки; они игнорируют древнее происхождение классической пропорции, основанной на греческих и римских принципах.

Исследование Мэри Берд 2010 года, Парфенон, никогда не упоминает Золотой прямоугольник.

Фиске Кимбалл, американский архитектор, историк, директор Художественного музея Филадельфии в течение 30 лет и очень уважаемый автор книги «История архитектуры» (1918 г.) — , одной из моих любимых и самых доступных книг по историческим архитектурным стилям — . никогда не упоминает Золотой прямоугольник.

Спиро Костоф, автор книги «История архитектуры» — — ссылка, обычная для университетских курсов по истории архитектуры, к которой я обратился, когда впервые начал изучать этот предмет, — никогда не упоминает Золотой прямоугольник.

И хотя у него, кажется, есть иллюстрации для каждой архитектурной особенности, концепции и детали в его обязательном Иллюстрированном словаре исторической архитектуры , Сирил Харрис не включает никакой информации о Золотом прямоугольнике.

Марианна Кьюзато в своей замечательной работе Get Your House Right ( обязательное руководство для строителей), обсуждает Золотое сечение (в разное время описываемое как Золотое сечение, Божественная пропорция и т. д.). По словам Кусато, «Золотое сечение было впервые открыто и использовано в древности во времена Золотого века Греции. Числовая аппроксимация рациона была воплощена в архитектуре и теории итальянского Возрождения и заново открыта в девятнадцатом веке» (стр.28).

Однако Роберт Адам в своей влиятельной работе Классическая архитектура, обсуждает золотой прямоугольник более подробно и соглашается — по крайней мере, в духе — с Кусато, когда он объясняет, что золотое сечение «обладает некоторыми уникальными и замечательными характеристиками. Многие из них были известны математикам в древности и в эпоху Возрождения, но нет никаких документальных свидетельств какого-либо архитектурного интереса до девятнадцатого века. …Хотя нет никаких доказательств вечной красоты этой фигуры или ее сознательного использования в какой-либо период, кроме недавнего прошлого, ее характеристики представляют некоторый интерес» (стр.116).

В то время как нынешние архитекторы, обученные золотому сечению, иногда используют формулу 1:618 для проектирования внешних фасадов, георгианские колониальные дома, датируемые восемнадцатым веком, полагались на книги образцов, изображающие пропорции классических ордеров; высота фриза среди прочих деталей определялась этими ордерами, а не золотым сечением. (http://homewalldecor.us/modern-classic-house-architecture)

Маркус Фрингс, которого я уже упоминал, обеими ногами вступает в полемику в статье с многочисленными сносками — Золотое сечение в истории архитектуры. Фрингс, немецкий искусствовед и куратор музея, не находит фактического использования этого соотношения, возможно, до девятнадцатого века. Он прослеживает мифическую теорию до Луки Пачоли, математика эпохи Возрождения и близкого человека Леонардо да Винчи:

.

Золотое сечение давно не встречается в архитектурной теории. Впервые он появляется в девятнадцатом веке через Цейзинга и Фехнера, а затем достигает определенной моды в третьем и четвертом десятилетии двадцатого века, когда с ним знакомятся Нойфер и Ле Корбюзье.Нойферт возлагал большие надежды на обновление архитектуры через золотую середину, но вскоре он протрезвел. Тем не менее он представляет его in extenso . После ранних экспериментов Ле Корбюзье использует Золотое сечение для разработки своего каталога мер, который из-за округлений и комбинаций имеет мало общего ни с золотым сечением, ни с рядом Фибоначчи. Фактически, Нойфер и Ле Корбюзье, похоже, использовали золотое сечение как способ приукрасить свое собственное субъективное художественное творение с помощью теории и соотношения.В любом случае, золотое сечение определенно играет роль в трудах этих архитектурных теоретиков. Однако до 19 века золотое сечение просто отсутствовало в письменной архитектурной теории.

Фрингс напоминает читателям обо всех архитектурных авторах, которые упоминают Золотой прямоугольник как основу своей работы, но ни разу не приводят пример того, как они использовали этот принцип на практике.

Если вы не любите читать или не доверяете ученым, посмотрите сериал PBS Nova.Этой программе легко следовать, особенно когда рассказчик говорит с искренней простотой: «На протяжении столетий многие ученые считали, что золотое сечение придает Парфенону его огромную силу и идеальные пропорции — особенно соотношение высоты и ширины на его фасаде. Сегодня использование золотого сечения в Парфеноне в значительной степени дискредитировано».

Программа объясняет с демонстративными подробностями, что вместо соотношения золотого сечения (1:1,618…), «соотношение, которое большинство ученых находят использованным при строительстве Парфенона, составляет 4:9, как это установлено в высоте лица к его ширину, ширину столбцов и расстояние между их центрами.

Рассказчик функции Nova продолжает:

Коррес и его команда исследовали Парфенон со всех сторон. И хотя здание выглядит прямым, они обнаружили, что на нем едва ли есть прямая линия.

Эти кривые не случайны. Начинают с фундамента, или стилобата. Каждая из 46 колонн имеет плавно изогнутый профиль и наклонена внутрь. Даже архитравы, мраморные балки, охватывающие колонны, а также архитектурные элементы над ними изогнуты.

Таким образом, каждая из панелей метопа (промежутки между триглифами вдоль фриза) также слегка изогнута и имеет уникальную форму и размер, чтобы соответствовать каждой колонне. Этот факт также должен развеять миф о неизменном золотом сечении, наблюдаемом в деталях фриза Парфенона.

Но это еще не все! Для тех, кто хочет получить подробную видео-презентацию о золотом сечении, не пропустите академическое и развлекательное видео Кита Девлина, развенчивающее множество мифов, связанных с золотым прямоугольником, золотым сечением, золотым сечением и золотой серединой.  

Наконец, вывод (своего рода)

Так что же все это значит? Проще говоря, когда дело доходит до классического пропорционирования, не существует окончательных источников или мистических наборов правил — есть только рекомендации. Плотники должны быть знакомы с «порядком» и иерархией основных элементов, но не должны зацикливаться на мелких деталях. Сделайте шаг назад и сначала посмотрите на всю картину целиком. Например, когда вы строите покрытие для террасы, не используйте стойки 4×4 — они выглядят слишком тонкими, слишком тонкими, они не дают человеческому глазу ощущения комфорта или безопасности при выдерживании тяжелого груза.Как минимум, используйте посты 6×6. И не используйте балку 6×6, используйте 6×8 или еще лучше, 6×10 или даже больше, в зависимости от пролета!

Но классические приказы — это больше, чем набор указаний. Как любит говорить Брент Халл, они дают нам «грамматику»: классические порядки — наш первоначальный исходный материал для приятных и симметричных деталей, таких как соответствие высоты подоконника и перил кресла, определение размера плинтуса и молдинга венца, а также выбор пропорции для выступов, таких как возврат карниза, каминные полки и дверные антаблементы в классическом стиле.

Но хватит уже о классических орденах! Следующая статья об архитектуре для плотников будет посвящена викторианскому периоду — апофеозу работы по дереву.


Примечания

[i] Витрувиус. Витрувиус, Десять книг по архитектуре, в переводе Морриса Хики Моргана. Дувр, 1960 г.

[ii] Палладио, Андреа. Четыре книги об архитектуре . Дувр, 1965 г.

[iii] Лот, Колдер. « Можем ли мы доверять Палладио», http://blog.classicist.org/?p=7355)

[iv] Фото предоставлено: Генри Парк, лекционный рисунок Королевской академии, на котором студент стоит на лестнице с жезлом, измеряя коринфский ордер храма Юпитера Стратора, Рим, SM 23/9/3, воспроизведено Колдером Лотом с Разрешение попечителей музея Соун, Лондон.

[v] Бенджамин, Ашер. The American Builders Companion 1827 . Дувр, 1969 г., предисловие к третьему изданию.

[vi] Каммингс, Эбботт Лоуэлл. Исследование источников, стилистическая эволюция и влияние руководств строителей Ашера Бенджамина .Оберлин-колледж, 1950 г.

.

[vii] Лебедь, Авраам. Грузинские архитектурные проекты и детали (1757). Дувр, 2005.

[viii] Фрингс, Маркус. «Золотое сечение в теории архитектуры», Nexus Network Journal, vol. 4, нет. 1 (зима 2002 г.), http://www.nexusjournal.com/Frings.html.

Введение в архитектурные пропорции: Часть I

с Рэйчел Флетчер

ICAA Education

3 июля 2020 г.

Это первая часть курса из четырех частей.Часть II доступна здесь.

Этот курс предлагает фундаментальное введение в искусство геометрических пропорций и предоставляет архитекторам и визуальным дизайнерам всех дисциплин геометрические методы для создания гармоничных пространств и мест. Студенты изучат методы проектирования, попрактикуются в рисовании и изучат пропорции известных архитекторов и художников, таких как Андреа Палладио и Томас Джефферсон.

Об инструкторе

Рэйчел Флетчер — автор книги «Бесконечная мера: обучение дизайну в геометрической гармонии с искусством, архитектурой и природой».Она была создателем/куратором музейных экспозиций «Бесконечная мера», «Дизайн от природы» и «Гармония от дизайна: Золотая середина» и автором каталога экспонатов последней. За свой значительный вклад в охрану природы и улучшение общества она получила награду за заслуги перед окружающей средой от Агентства по охране окружающей среды США, благодарность от Garden Club of America и Национальную премию «Ривер в родном городке» за массовую активность от American Rivers, среди прочих наград.

Предварительные условия курса

Не требуется.Содержание курса подходит для тех, кто не умеет рисовать с помощью циркуля и линейки.

Чему вы научитесь

  • Базовые знания элементов геометрических систем пропорций, включая основные определения, теоремы и методы
  • Как выполнить основные принципы рисования (как провести перпендикулярную линию, как найти середину) с помощью циркуля и линейки
  • Как создавать рисунки и пространственные композиции размером 9 x 12 дюймов с помощью циркуля и линейки, демонстрирующие элементарные геометрические пропорциональные системы, основанные на пропорциях √2, √3 и золотом сечении.
  • Применение систем пропорций √2, √3 и золотого сечения в примерах природы, анатомии человека, классического искусства и архитектуры, на основе которых можно построить более широкое понимание геометрических пропорциональных систем и их применения в дизайне и архитектуре.

Программа курса

Вы можете найти программу этого курса, включая рекомендуемую литературу и список тем курса, здесь. Темы курса и рисунки отмечены красным цветом на соответствующих страницах книги Infinite Measure: Learning to Design in Geometric Harmony with Art, Architecture and Nature by Rachel Fletcher.

Ретроспектива летней студии 2020

Этот курс представлен в рамках Летней студии-ретроспективы 2020 года, четырехнедельной серии ежедневных онлайн-контентов, вдохновленных Летней студией классической архитектуры ICAA и многими студентами, на которых повлиял ее уникальный курс обучения.Дополнительные программы из этой серии вы можете найти здесь.

Метки: образование, видео, Летняя студийная ретроспектива, видео курс

Пропорция и масштаб | Их применение в архитектуре

Два наиболее важных композиционных навыка архитектора – это владение пропорциями и чувство масштаба.Хотя они связаны, они имеют совершенно разные значения.

 

Классические Ордена

Пропорция

Пропорция – это размерное отношение одной части к другой или к целому, описываемое в терминах соотношения. В природе каждый вид имеет нормальные пропорциональные отношения между частями; таким образом, голова человека составляет примерно 1/8 роста человека, а расстояние между вытянутыми руками равно высоте тела. В созданном человеком мире архитектуры «правильные» пропорции — это те, которые, по мнению древних ученых, создавали визуальную гармонию между частями на основе математических соотношений, встречающихся в природе, таких как 1:√2 и A:B = B:(A +B), а также основные геометрические фигуры, такие как квадраты, круги и треугольники.Классическая греческая и римская архитектура была одержима тем, чтобы привести все части в заданные пропорции, полагая, что использование этих естественных соотношений гармонизирует дизайн с универсальными божественными истинами.

 

 

Модульный человек | Ле Корбюзье

Масштаб

Масштаб — это относительный размер отдельных элементов по сравнению друг с другом и с эталонным измерением. Мы развиваем чувство масштаба по мере того, как познаем мир, изучая относительные размеры людей, деревьев, жуков, собак, футбольных полей и всего остального, с чем мы регулярно сталкиваемся.В зданиях мы используем человеческое тело в качестве основного эталона, измеряя отдельные части комнаты — двери, окна, высоту потолка и детали — относительно собственного размера и относительно друг друга. Такие описания, как «близкий масштаб», «грандиозный масштаб» и, конечно, «человеческий масштаб», основаны на том, как мы визуально воспринимаем здание по отношению к себе.

 

Исследование пропорций на вилле Штейн | Ле Корбюзье

Пропорции и масштаб являются важными аспектами хорошего архитектурного дизайна.Требуются преднамеренные усилия и навыки, чтобы массировать горизонтальные и вертикальные размеры частей здания, чтобы они вписывались в единую пропорциональную систему и создавали общую визуальную гармонию. Правильно подобрать масштаб на этапе проектирования, возможно, сложнее, и для этого требуется большой опыт, потому что для этого нужно спроецировать себя на воображаемое здание, чтобы понять, насколько большим оно будет ощущаться после того, как будет построено. Но при умелом управлении сбалансированные пропорции и последовательный масштаб могут создать вечно красивое здание.

 

 

Каминные шкафы | Capitol Hill Condo

Пропорция в архитектуре HiSoUR История культуры

Пропорция — центральный принцип архитектурной теории и важная связь между математикой и искусством. Это визуальный эффект взаимоотношений различных объектов и пространств, составляющих структуру, друг с другом и с целым. Эти отношения часто регулируются кратными стандартной единице длины, известной как «модуль».

Пропорции в архитектуре обсуждались Витрувием, Альберти, Андреа Палладио, Ле Корбюзье и другими.

Греческая архитектура
Пропорция в архитектуре, таким образом, достигает своей первой теоретизации и значения в греческой архитектуре и тесно связана с философией, математикой и музыкой классической древности.

Греческий термин аналогия мог обозначать симметрию, понимаемую в ее геометрическом смысле, но прежде всего он отождествлялся с его чувством меры, гармонии и совершенства, искомым, в частности, в строительстве храмов (греч.).На самом деле эта гармония могла соответствовать геометрической симметрии, используемой для гармонизации храма, о чем свидетельствует принятие опистодомоса, функция которого заключалась в том, чтобы сделать священное здание совершенным и гармоничным (лишь изредка оно использовалось как крытое место). используется для предложений и вотивных продуктов). Более того, аналогия имеет прямое отношение к соизмеримости (т. е. возможности измерения предмета) части храма по отношению к другим его частям и по отношению к самому храму.По этой причине в греческих храмах принят модуль, представляющий диаметр основания колонн, который умножается и дается как мера другой части храма (например, высота колонны в дорическом ордере должна была быть между шестью и семью модулями).

«Об архитектуре»
Витрувий в третьей книге своего трактата «Об архитектуре» пишет:

«В основе конструкции храмов лежит симметрия, метод которой должен неукоснительно соблюдаться архитекторами.Симметрия возникает из пропорции, которая по-гречески называется аналогией. Пропорция состоит в соизмеримости отдельных частей всего произведения как друг с другом, так и с целым. Эта соизмеримость основана на принятии фиксированного модуля и позволяет применять метод симметрии. Ни один храм не мог бы иметь рациональной конструкции без симметрии и без пропорций, т. е. без точного пропорционального соотношения с членами правильно сложенного человеческого тела. »

В последнем предложении дорический храм соотносится с мужчиной из-за его величественности и величия.Витрувий также сравнивает два других основных ордера, ионический и коринфский, соответственно с женщиной и девушкой, всегда по их характеристикам.

Пропорции в римской архитектуре

Теория Витрувия
Архитектура в римской древности редко документировалась, за исключением трактата Витрувия об архитектуре. Витрувий служил инженером при Юлии Цезаре во время первых галльских войн (58-50 гг. до н.э.). Трактат был посвящен императору Августу.Когда Витрувий определил эту концепцию в первых главах трактата, он упомянул три предпосылки архитектуры: твердость (firmitas), товарность (utilitas) и удовольствие (vernustas), которые требуют от архитекторов различных знаний. и знание многих отраслей. Более того, Витрувий определил «Шесть принципов дизайна» как порядок (ordinatio), расположение (dispositio), пропорцию (eurythmia), симметрию (symmetria), уместность (декор) и экономичность (distributio).Среди шести принципов пропорция взаимодействует и поддерживает все остальные факторы в геометрических формах и арифметических соотношениях.

Слово symmetria, обычно переводимое в современных переводах как «симметрия», в древности означало нечто более тесно связанное с «математической гармонией» и измеримыми пропорциями. Витрувий пытался описать свою теорию в строении человеческого тела, которое он называл идеальным или золотым сечением. Принципы единиц измерения цифры, фута и локтя также исходили из размеров Витрувианского человека.В частности, Витрувий использовал общий рост человека в 6 футов, и каждая часть тела занимала разное соотношение. Например, лицо составляет около 1/10 от общей высоты, а голова — около 1/8 от общей высоты. Витрувий использовал эти соотношения, чтобы доказать, что композиция классических ордеров имитирует человеческое тело, тем самым обеспечивая эстетическую гармонию при рассматривании архитектурных колонн.

Классическая архитектура
В классической архитектуре модуль был установлен как радиус нижней оси классической колонны с пропорциями, выраженными в дробях или кратных этому модулю.

Ле Корбюзье
В своем «Модулоре» (1948) Ле Корбюзье представил систему пропорций, в которой золотое сечение и человек с поднятой рукой были масштабируемыми модулями пропорций.

Современная архитектура
В последующие эпохи он по-разному перемещался в романском стиле, готике, ренессансе, барокко, неоклассицизме, эклектике, включая модерн.

Рационализм относится к пропорциям, а Людвиг Мис ван дер Роэ изучает отношения между элементами и конструктивными деталями своих небоскребов с классицизмом.Затем Ле Корбюзье с Модулором прорабатывает человеческие пропорции и использует золотое сечение для проектирования зданий, также применяемое в Италии (Терраньи). «Упрощенный неоклассицизм» Марчелло Пьячентини предпочитает последовательный ритм архитектурных элементов (арки, столбы, окна и т. д.), но переворачивает отношения, расширяя их не в человеческом масштабе (высокие столбы, как все здание, уменьшенные арки). . Даже в городах-основателях фашистской эпохи, независимо от того, принят ли неоклассицизм Пьячентини или используются более итальянские / рационалистические или метафизические пути, всегда особое внимание уделяется пропорциям (см. Сабаудия, Латина, Портолаго).

Некоторые более поздние течения, такие как деконструктивизм, с другой стороны, развивают идею нелинейного архитектурного пространства, отрицают геометрию, оси и плоскости, делая «порядок» своим упорядочивающим элементом. Результатом является не-архитектура, которая отвергает пропорции, по крайней мере те, что разработаны в традиционном смысле.

Отсутствие зрелых и обобщенных знаний или теории является серьезным препятствием для разработки дизайна будущей архитектуры.

Источник из Википедии

Родственные

Гармонические пропорции в архитектуре: определение и форма

Определение

Гармоническая пропорция , вообще говоря, это просто отрезок линии, который был продуманно разделен таким образом, что линия была разделена на две части, где самая длинная часть, разделенная на меньшую часть, эквивалентна всей длина, деленная на большую часть.Золотое сечение часто обозначается фи, 21-й буквой греческого алфавита. В формах уравнений это правило выглядит так: a/b = (a+b)/a = 1,618. Из-за того, что оно так легко разделяло пространство, пифагорейцы считали это соотношение превосходным представлением цельной гармонии, встречающейся в природных узорах.

Золотое сечение как в ракушке, так и в прямоугольной форме

Форма

Как в природе, так и в науке гармоническая пропорция принимает множество форм.Одной из природных форм , в которой вы можете найти гармоничные пропорции, будет морская ракушка. Морские ракушки, которые принимают форму естественной спирали, являются прекрасным примером золотого сечения (или золотой спирали). Семенные головки подсолнуха или рост сосновой шишки также являются примерами гармонической пропорции. Они растут по спирали, пока не заполнят пространство, в котором они растут. Более научная форма может быть найдена в структуре молекулы ДНК с ее спиральной формой двойной спирали.

Семена подсолнечника натуралистическая спиральная форма

Гармонические пропорции в архитектуре можно найти в различных формах. В классической архитектуре спиральную форму можно найти в колоннах и резьбе по камню. Прекрасные примеры этой формы находятся в греческой и римской архитектуре. Хороший пример гармонической пропорции в архитектуре существует в работе Парфенон . Построенный в 447-438 гг. до н.э., Парфенон, кажется, использовал гармоничные пропорции в некоторых частях своей эстетики.Некоторые из фасадов Парфенона используют правила золотого сечения, где поперечная балка на вершине колонн представляет собой золотое сечение, пропорциональное высоте колонн под ним.

Фасад Парфенона, высота конструкций и расстояние между колоннами

Еще одно место, в котором можно найти этот дизайн, находится в готическом архитектурном стиле Нотр-Дам де Пари . Вы можете видеть на главном фасаде Нотр-Дам де Пари, что все структурные формы следуют золотому сечению пропорционально друг другу.Высота каждого уровня собора соответствует правилу, а также ширина колонн и пространств наверху сооружения.

Нотр-Дам-де-Пари с указанием высоты и ширины конструкции

Резюме урока

Гармоническая пропорция — это инструмент проектирования, основанный на математике и связанный с Пифагором , но он полезен во многих областях, включая архитектуру. Кроме того, известная как золотое сечение , гармоническая пропорция может быть найдена во многих случаях в науке и природе, подчеркивая создаваемую бесшовную и приятную эстетику.В архитектуре это соотношение можно найти в известных местах, таких как Парфенон и Нотр-Дам де Пари , и это лишь некоторые из них.

Система пропорций Петера Меркли – Drawing Matter

Стейси Льюис

Петер Меркли, Софияскирхе Константинополь (Святая София), ок. 1988 г. Ручка шариковая на следе, с белым наконечником, 270 × 310 мм. ДМС 2699.1.

Нарисованная вручную часть древнего памятника Святой Софии (532–537 гг.) Петера Мяркли является частью рабочего процесса, разработанного параллельно с его проектной работой.Результатом является коллекция исследовательских рисунков, которые документируют священные архетипические здания и формулируют его решительный тезис о том, что «у архитектуры есть язык».

Вес рисунка в том, что он иллюстрирует систему пропорций, унаследованную от наших самых ранних предков. На протяжении веков пропорции были основой архитектурной дисциплины, используемой на равном уровне для священных, мирских и жилых зданий. Однако растущее отклонение от практики пропорций привело к тому, что современный дискурс порывает с прошлым в сторону субъективных теорий эстетики.Мяркли осознает этот сдвиг, когда, по его мнению, универсальный язык архитектуры растворяется вместе с человеческой изобретательностью в обществе, посвященном служению чисто техническому миру.

Мяркли объясняет язык архитектуры с помощью двух пересекающихся принципов: пропорции и грамматики. Пропорция — это система измерений, используемая для создания гармонии и ритма между зданием и его составными частями. Он определяется равенством отношений между двумя парами величин.Другими словами, пропорция определяет пространство в трех измерениях посредством двух крайностей и среднего члена, обычно среднего. Грамматика — это правильное использование и усовершенствование архитектурных элементов, особенно стены, платформы, столба и крыши. Таким образом, пропорция присуща зданию и является результатом не личной фантазии, а объективных правил. Грамматика — это усовершенствование здания для формализации структуры места, его 90 129 гениальных мест, 90 130 и выражения новых значений — географических и космических, таких как история и память, климат, смена времен года, восход и закат. солнца и разницы между днем ​​и ночью.Кроме того, Мяркли практикует и преподает архитектуру как дисциплину. Он считает, что архитектор должен научиться видеть язык архитектуры, прежде чем начинать проектировать; точно так же музыкант тренируется слышать звуки музыки, прежде чем начать сочинять [1] .

Самые ранние выражения строгого математического порядка зафиксированы в Египте и Вавилоне (2500–3000 гг. до н.э.) в виде пирамид, зиккуратов и гробниц. Знание египетского и вавилонского мышления получено из источников, нарисованных на папирусе и начертанных на глиняных табличках.Эти трактаты изображают математические исследования и раскрывают процесс проектирования, который стал видимым в архитектурной форме. Сохранившаяся отрасль знания, которая выходит за лингвистические и временные границы к универсальным вопросам истины и разума.

Мудрость из Египта и Вавилона распространялась через морские торговые отношения и оказала влияние на раннее искусство и архитектуру, возникшие в Древней Греции. Развитие греческого полиса (города-государства) в восьмом веке до нашей эры привело к возникновению независимых политических образований.Полис , особенно в Афинах, стал местом для экспериментов в области демократии, философии и науки. Новый класс свободных граждан начал рационально интерпретировать природу Вселенной с помощью математической логики. К 550 г. до н. э. благодаря учениям греческого философа Пифагора геометрия стала теоретической наукой.

Пифагор и его последователи считали, что вся вселенная упорядочена и управляется числами, и их наблюдения привели к открытию того, что музыка и математика имеют одну и ту же фундаментальную основу.Именно это прямое отношение между слышимой гармонией в музыке и видимым порядком в математике составляло выбранные отношения и пропорции, признанные гармоничными. В первую очередь это было основано на личном опыте звуков, связанных с числовыми вариациями высоты тона. В результате этого процесса была создана двенадцатитоновая музыкальная гамма, состоящая из пяти соотношений; 12:6 (2:1), 9:6 (3:2), 8:6 (4:3), 144:36 (4:1) и 108:36 (3:1) и три соответствующие пропорции; арифметический, геометрический и гармонический .Первая из этих пропорций — это арифметическая пропорция . Здесь второй член превышает первый на столько же, сколько третий превышает второй, например 2:3:4 или 2:4:6. Вторая пропорция называется геометрической . Здесь первый член относится ко второму так же, как второй к третьему, например 1:2:4 или 1:3:9. Конечная пропорция называется гармоникой . Это можно описать, когда расстояние двух крайних значений от среднего составляет одну и ту же долю его собственной величины.Например, 3:4:6, среднее значение 4 превышает 3 на одну треть от 3 и превышает на одну треть от 6.  Эти музыкальные соотношения и пропорции напрямую повлияли на стремление к архитектурной форме.

Вслед за Пифагором афинский философ Платон примерно в 360 г. до н. э. написал « Тимей », в котором попытался объяснить, как возникла вселенная и все в ней. Применяя пропорции к твердым телам, он представил себе, что вся материя состоит из пяти правильных тел; земля ассоциировалась с кубом, воздух — с октаэдром, вода — с икосаэдром, огонь — с тетраэдром, а тело вселенной — с додекаэдром.Эти геометрии связали несовершенный физический мир с совершенным миром идей. Они показали, как твердые объемы и чистые формы, равносторонний треугольник, квадрат и пятиугольник придают рациональность целому.

Пифагорейско-платоновская традиция заложила основу для математического трактата Евклида из тринадцати книг под названием Элементы , опубликованного около 300 г. до н.э., в котором собрано и систематически доказано все, что было известно о геометрии. В Книге VI, определение 3, Евклид разрезал прямую линию AB в крайнем и среднем отношении в точке C, позже известной как Золотое сечение, в котором меньшая часть относится к большей, как большая к целому, в других слова АВ:АС = АС:СВ.

Греческая математика легла в основу всех последующих европейских систем пропорций. Введение человеческой фигуры в качестве пропорционального ориентира римским инженером Витрувием в первом веке до нашей эры добавило рациональное измерение понятию единого и целого. Представленная в его латинском трактате «О архитектуре » простая картина квадрата и круга, перекрывающих человеческие пропорции, укрепила убежденность в том, что основной порядок и гармония лежат глубоко в человеческой природе.

Принципы пропорции были приняты на протяжении всей Византийской империи и средневековья, вплоть до эпохи Возрождения и барокко.Именно в этом контексте мы находим этюды Мяркли, нарисованные от руки. Пропорция потеряла значение в восемнадцатом веке, когда она стала делом индивидуальной чувствительности, и в этом отношении архитектор получил полную свободу; позиция, с которой сегодня работает большинство архитекторов [2] .

Märkli противостоит утрате пропорций в архитектуре двадцать первого века с помощью инструмента, который объединяет систему пропорций, изученную в ходе исторических наблюдений, с системой измерения, основанной на геометрии и человеческом масштабе.Это представлено в его начертании шариковой ручкой византийского памятника Святой Софии.

Многослойное изображение рисует линии, формы и точки поверх исторического прецедента, чтобы передать определенные соотношения и метод пропорций. Интерпретируя уроки, изложенные Витрувием, Мяркли перекрывает квадрат и круг, чтобы обрамить центральный объем здания. Окружность пересекает низ квадрата и два верхних угла. Его центр получается из пересечения двух второстепенных линий, проведенных перпендикулярно серединам двух основных линий.Во-первых, линия основания квадрата, а во-вторых, диагональная линия, соединяющая середину основания квадрата с левым верхним углом. Вторая перпендикулярная линия пересекает квадрат в отношении 7/8 к 1/8 с правой стороны и 5/8 к 3/8 с левой стороны. 5/8 соответствует золотому сечению до 7/1000, а 7/8 относится к синусу равностороннего треугольника в пределах 9/1000. Это выдвигает на первый план два ключевых компонента пропорции, засвидетельствованных на протяжении всей истории [3] .

Стейси Льюис, Интерпретация системы пропорций Питера Меркли, 2020. Карандаш на миллиметровой бумаге, 297 × 210 мм.

Секционный характер рисунка, наложенный на симметрично масштабируемый квадрат из 8 единиц, показывает единичную длину и высоту центрального объема. Длина 8, высота 5 до основания купола и 7 до вершины купола. Однако для истинной пропорции должно быть третье измерение, в этом случае ширина отсутствует. Это можно рассчитать, используя три типа пропорции, установленные Пифагором в музыке и развитые в эпоху Возрождения.Когда под высотой помещения понимается среднее значение, 5 или 7, ширина равна 2 или 6 в арифметической пропорции; 3,125 или 6,125 в геометрической пропорции; 3,63 или 6,2 в гармонической пропорции [4] .

Исследованные планы собора Святой Софии показывают, что ширина основного пространства составляет примерно 3,65, что на 2/100 меньше 3,63. Это показывает, что объем до основания купола имеет гармоничные пропорции, и подразумевает, что Märkli использует этот тип пропорций в качестве идеального при разработке [5] .

Петер Меркли, фасад (с пропорциональными этюдами), Haus Kühnis (общий), Трюббах, Швейцария, 1982.Карандаш на следе, 295 × 418 мм. DMC 2698.5.Peter Märkli, фасад (с пропорциональными этюдами), Haus Kühnis (klein), Трюббах, Швейцария, 1982. Карандаш на следе, 330 × 360 мм. DMC 2698.4. Peter Märkli, фасад (с пропорциональными этюдами), Haus Hobi, Sargans, Швейцария, 1983. Карандаш на следе, 312 × 360 мм. DMC 2700.

Изображенный язык архитектуры — это не возврат к древности, это искусство исторического перевода, чтобы вообразить что-то новое для будущего с помощью общепризнанного метода.Пропорции и грамматика — это инструменты общения, средства укрощения произвольного и хаотичного с помощью порядка и структуры, которые можно проследить до наших древнейших предков.

Питер Меркли (1953), Сан-Лоренцо, Флоренция, 1982 год. Шариковая ручка на следе, 312 × 235 мм. ДМС 2699.2.

Стейси Льюис в настоящее время проводит архитектурные исследования по части 3 в Лондоне.

Этот текст был включен в приз 2020 Drawing Matter Writing Prize.   Нажмите здесь, чтобы прочитать тексты победителей и другие тексты, которые особенно понравились судьям.

Примечания

  1.  Введение основано на идеях из следующего источника: Imoberdorf, Chantal. Мяркли: Кафедра архитектуры Швейцарской высшей технической школы Цюриха, 2002–2015 гг. . Zürich: Gta Verlag, 2016.
  2. Раздел исторического контекста относится к датам и идеям, изложенным в следующих источниках: Fletcher, Banister. История архитектуры . Лондон: Routledge, 1996, двадцатое издание; впервые опубликовано в 1896 г .; Витковер, Рудольф.Архитектурные принципы в эпоху гуманизма. Chichester: Academy Editions, подразделение John Wiley & Sons, 1998 г., пятое издание; впервые опубликовано в 1949 году.
  3.  Этот абзац перефразирует Маркли, Питера. Интервью брали: Гербер, Андри., Джоанелли, Тибор., и Аталай Франк, Ойя. Пропорции и познание в архитектуре и градостроительстве: мера, отношение, аналогия . Берлин: Дитрих Реймер Верлаг, 2019, стр. 118-119.
  4. Формулы средних значений: среднее арифметическое h = w+l ÷ 2, среднее геометрическое h = wl, среднее гармоническое h = 2wl ÷ w+l, где h — высота, l — длина, а w — ширина комнаты.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.

Начните вводить, то что вы ищите выше и нажмите кнопку Enter для поиска. Нажмите кнопку ESC для отмены.

Вернуться наверх